Question

1) найти y'(2), если у = (х + 5) ln x

2) найти у'(2), если у = lnx/x

Answer 1

Добрый день!

Для решения этих задач нам понадобятся некоторые знания о производных и правилах дифференцирования функций.

1) Первая задача заключается в нахождении производной функции y = (x + 5) ln x и вычислении значения производной в точке x = 2, то есть y'(2).

Для начала воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций:

(d(uv))/(dx) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x),

где u(x) и v(x) - функции, зависящие от x.

В данном случае, u(x) = (x + 5) и v(x) = ln x. Вычислим производные этих функций:

u'(x) = 1, поскольку производная от x + 5 равна 1, а производная от константы равна нулю.

v'(x) = 1/x, используя правило дифференцирования функции ln x.

Теперь применим правило дифференцирования произведения функций:

y'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (1)(ln x) + (x+5)(1/x) = ln x + 1 + (x+5)/x.

Теперь вычислим y'(2), подставив x = 2 в полученное выражение:

y'(2) = ln 2 + 1 + (2+5)/2 = ln 2 + 1 + 7/2 = ln 2 + 5.5 ≈ 1.693 + 5.5 ≈ 7.193.

Ответ: y'(2) ≈ 7.193.

2) Вторая задача заключается в нахождении производной функции y = ln x / x и вычислении значения производной в точке x = 2, то есть y'(2).

Для начала воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций:

(d(u/v))/(dx) = (u'v - uv')/(v^2),

где u(x) и v(x) - функции, зависящие от x.

В данном случае, u(x) = ln x и v(x) = x. Вычислим производные этих функций:

u'(x) = 1/x, по правилу дифференцирования функции ln x.

v'(x) = 1, поскольку производная от x равна 1.

Теперь применим правило дифференцирования частного функций:

y'(x) = (u'v - uv')/(v^2) = (1/x * x - ln x * 1)/(x^2) = (1 - ln x)/x^2.

Теперь вычислим y'(2), подставив x = 2 в полученное выражение:

y'(2) = (1 - ln 2)/(2^2) = (1 - ln 2)/4 ≈ (1 - 0.693)/4 ≈ 0.307/4 ≈ 0.0768.

Ответ: y'(2) ≈ 0.0768.

Надеюсь, что ясно объяснил решение этих задач! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!