Question

Напишите как лучше с графиком

найти площадь фигуры, ограниченной параболой y= -x^2+4x-3 и прямой, проходящей через точки (1,0) и (0,-3)

Answer 1

ответ: 1/6

Объяснение: для начала выведем формулу самой прямой.

Пусть прямая, проходящая через заданные точки, имеет вид у = kx + b.

По условию y(1) = 0, y(0) = -3.

1)1 · k + b =0, k + b = 0 ⇒ k = -b.

2)0·k + b = -3. b = -3 ⇒ k = 3.

Исходная прямая - y = 3x - 3.

Теперь исследуем функцию y = -x² + 4x - 3. График - парабола, ветви направлены вниз.

Нули функции - x = 1 и x = 3. Вершина: x = -b/2a = -4/-2=2,  y=-2²+8-3=-4+5=1.   (2; 1) Нам этого достаточно.

Строим графики (во вложении. Фигура, площадь которой нужно найти, заштрихована красным).

Площадь фигуры будем искать на отрезке [0; 1]

По формуле  $S=\int\limits^a_b {(f(x)-g(x))} \, dx$ где f(x) ≥ g(x) (т.е. график функции f выше графика функции g) находим искомую площадь:

$\int\limits^1_0 {(-x^2+4x-3-(3x-3))} \, dx =\int\limits^1_0 {(-x^2+x)} \, dx=(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})|^1_0=(\frac{-2x^3+3x^2}{6})|^1_0=(\frac{-2\cdot1+3\cdot1}{6})-(\frac{-2\cdot0+3\cdot0}{6})=\frac{-2+3}{6}=\frac{1}{6}$

Искомая площадь - S = 1/6 (кв. ед)