Question

Во по теории.
Подскажите,какую из формул использовать?
Решая любое тригонометрическое уравнение, я сверяюсь с ответом и иногда он не совпадает с тем, который написан где-либо( число в основе такое же, но оформление ответа другое). Как мне известно, есть общая формула и две другие(есть картинка). Имеет ли значение какой решать? И при каких условиях, какой формулой пользоваться? Если есть исключения- скажите. Или всё равно какую использовать? Я пропустила эту тему, поэтому сложно разобраться. Буду рада за очень подробное объяснение. Разложить всё по полочкам))) Заранее ответ не в тему=нарушение. Надеюсь на качественный ответ

Answer 1

Какой формулой пользоваться значения не имеет. На фотографиях представлены решения уравнения $\sin(t) = \alpha$.

Если нарисовать числовую окружность, то значение $\sin(t) = \alpha$ есть координата точки $t$ по оси $oy$, ведь для любой точки числовой окружности справедливо, что $t(x; \: y), \: x = \cos(t), \: y = \sin(t)$, т.е. точка $t \in \mathbb R$ имеет координаты $(\cos(t); \: \sin(t))$.  

Если провести прямую, параллельную оси $ox$ через точку $\sin(t)$, то она пересечётся с числовой окружностью в каких-то точках.  

Чтобы было понятнее, советую нарисовать окружность радиусом $R = 1$ и центром в точке $O(0;0)$ и отмечать всё, о чём я пишу.  

Теперь рассмотрим эти точки пересечения.

Если $0$, то пересечения будут в первой и второй четвертях.

Если $-1$, то пересечения будут в третьей и четвёртой четвертях.

Если $\sin(t) = 0$, то пересечений тоже два и это $0$ и $\pi$.

Если $\sin(t) = 1$, то пересечение только одно, при чём точка пересечения будет и точкой касания, и равна она $\frac{\pi}{2}$.

Если же $\sin(t) = -1$, то пересечение тоже одно, тоже является точкой касания, но значение равно $-\frac{\pi}{2}$.

А теперь вспомним определение арксинуса. Арксинусом числа $\alpha$ называют такой угол $t \in \lbrack 0; \: \frac{\pi}{2}\rbrack$, что $\sin(t) = \alpha$. Главное здесь то, что $t$ может быть углом только первой четверти.  

Отсюда же следует, что $t=\arcsin(\alpha),\: t \in \lbrack 0; \: \frac{\pi}{2}\rbrack$.

Это прекрасно работает для $\sin(t) = 1$, ведь $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$.

Но только недавно мы проверили, что у нас может быть и не одно, а два решения. Как поступить в случае, если арксинус работает только для углов первой четверти, а нам нужно, чтобы он работал во второй? ответ прост. $\sin(t)$ - это число, а $\arcsin(\alpha)$ - угол.  

Пусть прямая $y= \alpha$ пересекается с окружностью в точках $A$ в первой четверти и $B$ во второй четверти, а точку $\alpha$ на оси $oy$ мы обзовём $C$. Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOC$, в них:

$OC$ - отрезок, лежащий на оси $oy$, а $AB$ - хорда, параллельная оси $ox$, значит $OC \perp AB$, по аксиоме о перпендикулярности прямых. Следовательно, треугольники $AOC$ и $BOC$ - прямоугольные по определению.$OC$ - отрезок, лежащий на радиусе и $OC \perp AB$, значит $AO = OB$ по свойству радиуса.$OC$ - общая сторона.

Треугольники $AOC$ и $BOC$ равны по двум катетам. Из этого следует и то, что их соответственные углы равны. Т.е. угол $COA$ и угол $BOC$.

Но углы мы отсчитываем от точки $(0; \: 1)$, обзовём её $K$. Тогда угол $AOK = \frac{\pi}{2} - COA$. А это угол $t$ первой четверти.  

$BOK = 2COA + t\\2COA + 2t =\pi\\BOK + t = \pi\\BOK = \pi - t = \pi - arcsin(\alpha)$

А угол $BOK$ - искомый угол второй четверти.

Как нам известно, все числа на числовой окружности получаются с поворота на определённый угол, пусть $\gamma$ - этот угол. И если мы сделаем полный оборот, то мы хоть и придём в ту же самую точку, но вот число уже будет другое, ведь поворачивались мы на другой угол, равный $\gamma + 2\pi$. Таким образом, чтобы описать все числа, находящиеся в точке на окружности с координатами $(\cos(t);\: \sin(t))$ надо добавить $2\pi n$, где $n$ - целое (чтобы получились полные обороты).

Вот так и получается первая формула.

Что до второй, то тут всё проще. Выводить её не буду, и так ответ уже километровый. В ней всё работает на чётности $n$. Если $n$ - чётное, то формула трансформируется в $\arcsin(\alpha) + 2\pi \times p, \: 2p = n, \: p \in \mathbb{Z}$, если нечётное, то в $-\arcsin(\alpha) + \pi \times (2p+1), \: (2p+1) = n, \: p \in \mathbb{Z}$, ну а $-\arcsin(\alpha) + \pi \times (2p+1) = \pi - \arcsin(\alpha) + 2\pi \times p$. Т.е. это тоже самое, только записанное в одну строчку. Использовать вторую формулу не советую. Она менее интуитивно понятная. Но если в ней разобраться, то решение уменьшается в размере, это правда.

Как-то так. Фу-у-у-ух. Много. Очень Много Букв.

P.S. Прости за задержку.