Question

Нужно доказать сходимость ряда и найти его сумму

Answer 1

Сумма ряда равна пределу его частных сумм. Если предел частных сумм существует и конечен, то ряд сходится.

$1)\dfrac{4}{(4n+3)(4n+7)}=\dfrac{1}{4n+3}-\dfrac{1}{4n+7}\\ \sum\limits_{n=0}^k \dfrac{4}{(4n+3)(4n+7)}=\sum\limits_{n=0}^k \dfrac{1}{4n+3}-\dfrac{1}{4n+7}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{4k+3}-\dfrac{1}{4k+7}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4k+7}\\ =\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{4}{(4n+3)(4n+7)}=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=0}^k \dfrac{4}{(4n+3)(4n+7)}=\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4k+7}=\dfrac{1}{3}$

$2)a_n=\dfrac{2^{2n}-3*6^n}{18^n}=(\dfrac{2}{9})^n-3*(\dfrac{1}{3})^n\\ \sum\limits_{n=1}^k a_n=\sum\limits_{n=1}^k (\dfrac{2}{9})^n-3*\sum\limits_{n=1}^k(\dfrac{1}{3})^n=\dfrac{\frac{2}{9}((\frac{2}{9})^k-1)}{\frac{2}{9}-1}-3*\dfrac{\frac{1}{3}((\frac{1}{3})^k-1)}{\frac{1}{3}-1}=-\dfrac{2}{7}((\frac{2}{9})^k-1)+\dfrac{3}{2}((\frac{1}{3})^k-1)$

$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^k a_n=\lim\limits_{k\to\infty}-\dfrac{2}{7}((\frac{2}{9})^k-1)+\dfrac{3}{2}((\frac{1}{3})^k-1)=\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{17}{14}$