Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена 4/9a(квадрат)-2ab +9/4b(квадрат)

👇

Ответ:

2002КетринПирс2002

30.07.2022

$\frac{4}{9} {a}^{2} - 2ab + \frac{9}{4} {b}^{2} = \\ = { (\frac{2}{3} a)}^{2} - 2 \times \frac{2}{3} a \times \frac{3}{2} b + ( { \frac{3}{2} b)}^{2} = \\ = {( \frac{2}{ 3} a - \frac{3}{2}b) }^{2}$

4,7(84 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

livekristinka

30.07.2022

Дано уравнение 4sin(x)+3cos(x)=3.
Введём замену: у = tg(x/2).
Тогда sin(x) = 2y/(y²+1), cos(x) = (1-y²)/(y²+1).
Тогда исходное уравнение примет вид:
4*(2y/(y²+1))+3*((1-y²)/(y²+1))-3 = 0.
Раскроем скобки и приведём подобные.
(8у+3-3у²-3у²-3)/(у²+1) = 0.
(8у-6у²)/(у²+1) = 0.
Если дробь равна нулю, то нулю равен числитель.
8у-6у² = 0.
Сократим на -2:
3у²-4у = 0 или у(3у-4) = 0.
Отсюда у = 0 (этот корень не соответствует заданию),
3у-4 = 0.
у = (4/3).
Обратная замена: tg(x/2) = 4/3.
x/2 = arc tg(4/3)+πк,
x = 2arc tg(4/3)+2πк = 2(0,927295 + πk).
Заданию соответствует значение при к = 0, то есть:
х = 2arc tg(4/3) ≈ 1,85459.

4,7(88 оценок)

Ответ:

Sparc72

30.07.2022

$\sqrt{x^2-7x+49} = x^2 + 3x\\x^2-7x+49 =(x^2+3x)^2, x^2+3x \geq 0\\x^2-7x+49 = x^4+6x^3+9x^2\\x^4 + 6x^3 + 8x^2 + 7x - 49 = 0\\x^4 + 4 * 1.5x^3 + 6 * 1.5^2 x^2 + 4 * 1.5^3x + 1.5^4 - 6 * 1.5x^2 - 4*1.5^3x - 1.5^4 + 8x^2 + 7x - 49 = 0\\(x+1.5)^4-x^2-6.5x-54.0625=0\\t = x + 1.5 = x = t - 1.5\\t^4 - (t-1.5)^2 - 6.5(t-1.5) - 54.0625 = 0\\t^4 - t^2 + 3t - 2.25 - 6.5t + 9.75 - 54.0625 = 0\\t^4 - t^2 - 3.5t - 46.5625 = 0\\t^4 - 2 * 0.5t + 0.25 - 0.25 - 3.5t - 46.5625 = 0\\$

$(t^2-0.5)^2 = 3.5t + 46.8125\\(t^2 - 0.5 + a) = 3.5t + 46.8125 + 2(t^2-0.5)a + a^2\\f(t) = 3.5t + 46.8125 + 2at^2 - a + a^2 = 2at^2 + 3.5t + a^2 - a + 46.8125\\D = 3.5^2 - 4 * 2a (a^2-a+46.8125) = 0\\3.5^2 - 4 * 2a (a^2-a+46.8125) = 12.25 - 8a^3 + 8a^2 - 374.5a = -8a^3 + 8a^2 - 374.5a + 12.25 = 0\\-8a^3 + 8a^2 - 374.5a + 12.25 = 0\\8a^3 - 8a^2 + 374.5a - 12.25=0\\2a = m = (2a)^3 - 2 * (2a)^2 + 187.25 * (2a) - 12.25 = 0 = m^3 - 2m^2 + 187.25m - 12.25 = 0\\$

$m^3 - 2m^2 + 187.25m - 12.25 = m^3 - 3 *\frac{2}{3}m^2 + 3 * (\frac{2}{3})^2m -(\frac{2}{3})^3 -3 * (\frac{2}{3})^2m +(\frac{2}{3})^3 + 187.25m - 12.25 = (m-\frac{2}{3})^3 - \frac{4}{3}m + 187.25m + \frac{8}{27} - 12.25 =(m-\frac{2}{3})^3 + \frac{2231}{12}m - \frac{1291}{108}=0\\m-\frac{2}{3} = b = m = b +\frac{2}{3}\\b^3 + \frac{2231}{12}(b +\frac{2}{3}) -\frac{1291}{108} = b^3 +\frac{2231}{12}b +$

$\frac{2231}{18} - \frac{1291}{108} = b^3 +\frac{2231}{12}b + \frac{12095}{108} =0\\ Q = (\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3 = (\frac{12095}{216})^2 + (\frac{2231}{36})^3 = \frac{12095^2+2231^3}{6^6} =\frac{11250781416}{6^6}\\ \sqrt{Q} = \frac{\sqrt{11250781416}}{216}\\b = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}\\$

$b = \sqrt[3]{-\frac{12095}{216}+\frac{\sqrt{11250781416}}{216}} + \sqrt[3]{-\frac{12095}{216}-\frac{\sqrt{11250781416}}{216}} = \frac{1}{6}*(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095})\\m = b +\frac{2}{3} = \frac{1}{6}*(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095} +4)\\m = 2a = a = \frac{m}{2} = \frac{1}{12}*(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095} +4)\\(t^2 - 0.5 + a)^2 = 3.5t + 46.8125 + 2(t^2-0.5)a + a^2\\$

Да, кстати, корень кубического уравнения единственный в поле действительных чисел, так как его дискриминант больше нуля.

Теперь, при таком значении а правая часть вышенаписанного уравнения - это полный квадрат. Найдем корень, учитывая это:

$t_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-3.5}{4a} = -\frac{7}{8a} = -\frac{7}{8*\frac{1}{12}*(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095} +4)} = \frac{21}{2(\sqrt[3]{\sqrt{11250781416}-12095} - \sqrt[3]{\sqrt{11250781416}+12095} +4)}\\$

Теперь свернем правую часть в полный квадрат и решим обычное квадратное уравнение:

$(t^2 - 0.5 + a)^2 = 2a(t-t_0)^2 = (\sqrt{2a}(t-t_0))^2\\(t^2 - 0.5 + a)^2 - (\sqrt{2a}(t-t_0))^2 = 0\\(t^2 - 0.5 + a - \sqrt{2a}(t-t_0))(t^2 - 0.5 + a + \sqrt{2a}(t-t_0))=0\\(t^2 - \sqrt{2a}*t + \sqrt{2a}*t_0 + a - 0.5)(t^2 + \sqrt{2a}*t - \sqrt{2a}*t_0 +a-0.5) = 0$