Question

Якщо довжину прямокутника зменшити на 3 см, а ширину збільшити на 2 см, то його площа збільшитсья на 6 см квадратних. Якщо довжину прямокутника зменшити на 5 см, а ширину збільшити на 3 см, то площа прямокутника не зміниться. Знайдіть сторони данного прямокутника

Answer 1

Нехай $x$ см — довжина прямокутника, а $y$ см — його ширина. Площа $S$ прямокутника дорівнює добутку довжини

Якщо довжину прямокутника зменшити на 3 см, а ширину збільшити на 2 см, то його площа збільшитсья на 6 см квадратних. Отже, $(x - 3)(y + 2) = S + 6$, а саме $(x - 3)(y + 2) = xy + 6$.

Якщо довжину прямокутника зменшити на 5 см, а ширину збільшити на 3 см, то площа прямокутника не зміниться. Отже, $(x - 5)(y + 3) = S$, а саме $(x - 5)(y + 3) = xy$.

Маємо систему з двох рівнянь з двома невідомими:

$\left\{\begin{array}{ccc}(x - 3)(y + 2) = xy + 6\\(x - 5)(y + 3) = xy \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

Розв'яжимо цю систему методом додавання:

$\left\{\begin{array}{ccc}xy + 2x - 3y - 6 = xy + 6\\xy + 3x - 5y - 15 = xy \ \ \ \ \\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc} 2x - 3y = 12 \ \ \ | \cdot (-3) \\3x - 5y = 15 \ \ \ | \cdot 2 \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc} -6x + 9y = -36 \\6x - 10y = 30 \ \ \\\end{array}\right$

Додамо почленно обидва рівняння. Отримаємо рівняння зі зімнною $y$:

$-6x + 6x + 9y - 10y = -36 + 30\\-y = -6\\y = 6$

Тоді

$2x - 3 \cdot 6 = 12\\2x - 18 = 12\\2x = 30\\x = 15$

Отже, довжина прямокутника дорівнює 15 см, а ширина — 6 см.

Відповідь: 15 см; 6 см.