Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции в заданных промежутках.
Даю 100б.​

Answer 1

$1) f(x)=x^2-6x+13;\\\\f'(x)=2x-6=0\\\\$

$2x-6=0\Rightarrow x=3$ - критическая точка.

Для нахождение наименьшего и наибольшего значения на отрезке найдем значение функции в критической точке и на концах отрезка - при x = 0, x = 3 и x = 6.

$f(0) = 13,\\\\f(3) = 3^2-6\cdot3+13=4\\\\f(6)=6^2-6\cdot6+13=13$

$\max_{[0; 6]}f(x)=f(0)=f(6)=13.\\\min_{[0; 6]}f(x)=f(3)=4.$

$2) f(x)=\frac{1}{2}x^2- \frac{1}{3}x^3$

$f'(x)=x-x^2=0\\\\$

$x-x^2=0\Rightarrow x_1=0, x_2=1$ - критические точки.

Первая точка в заданный промежуток не попадает, а вторая совпадает с левым ее концом, поэтому для нахождение наименьшего и наибольшего значения на отрезке достаточно найти значение функции на концах отрезка: при х = 1 и х = 3.

$f(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6};\\\\ f(3)=\frac{9}{2}-\frac{27}{3}=\frac{27-54}{6}=-\frac{27}{6}=-4,5$

$\max_{[1; 3]}f(x)=f(1)=1/6.\\\min_{[1; 3]}f(x)=f(3)=-4,5.$

$3) f(x) = x^3-3x^2-9x+35\\\\f'(x)=3x^2-6x-9=0\\$

$3x^2-6x-9=0\ \Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x_1=-1, x_2=3$ - критические функции.

Для нахождение наименьшего и наибольшего значения на отрезке найдем значение функции в критических точках и на концах отрезка - при x = -4, x = -1, x = 3 и х = 4:

$f(-4)=-64-3\cdot16+9\cdot4+35=-41\\\\f(-1)=-1-3\cdot1+9+35=40\\\\f(3)=27-3\cdot9-9\cdot3+35=8\\\\f(4)=64-3\cdot16-9\cdot4+35=15$

$\max_{[-4; 4]}f(x)=f(-1)=40.\\\min_{[-4; 4]}f(x)=f(-4)=-41.$