Question

2sin` x-5sin x+2=0
2cos` 5x-sin 5x cos 5x-sin` 5x=0
вместо черточки это квадрат

Answer 1

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

1. 2sin²x -5sinx+2 =0       понятно и так    (sinx)^2

2. 2cos²(5x) -sin(5x) *cos(5x) - sin²(5x)=0

1.    (-1)ⁿ*π/6 +π*n , n ∈ ℤ .

2.   (1/5)argctg(-1/2) +(π/5)*n , n ∈ ℤ  ,  π/20 +(π/5)*n , n ∈ ℤ .

Объяснение:

1. 2sin²x -5sinx+2 =0  замена:  t =sinx  ,  | t| = |sinx| ≤1    |

2t² -5t+2 =0  квадратное уравнение

D =5² -4*2*2 =25 -16 =9   √D =√9 =3

t₁ = (5 -3)/2*2 = 1/2  ⇒sinx=1/2 ⇒ x =(-1)ⁿ*π/6 +π*n , n ∈ ℤ .

t₂ = (5 +3)/2*2 =8/4 =2 > 1  (посторонний корень)

!  Или иначе * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

2t² -5t+2 =0 ⇔ t² -(5/2)t+1= 0⇔ t² - (1/2+2)t+1= 0

корни t₁  =1/2  , t₂ =2  .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

2. 2cos²(5x) -sin(5x) *cos(5x) - sin²(5x)=0  || : sin²(5x) ≠ 0

2ctg²(5x)  -ctg(5x) -1 =0    замена:  t =ctg(5x)

2t² -t -1 =0   D =1² - 4*2*(-1) = 9     √D =√9 =3

t₁ = (1-3) /2*2 = -1/2

t₂ = (1 +3)/2*2 = 1

Обратная замена :

ctg(5x) =t₁  

ctg(5x) = -1/2        

5x =argctg(-1/2) +π*n , n ∈ ℤ .

x = (1/5)argctg(-1/2) +(π/5)*n , n ∈ ℤ

ctg(5x) =1

5x =π/4 +π*n , n ∈ ℤ .

x =π/20 +(π/5)*n , n ∈ ℤ .

!   Или иначе

* * * сos²t = (1-cos2t)/2  ; sin²t = (1-  cos2t)/2 ; sin2t =2sint*cost * * *

2cos²(5x) -sin(5x) *cos(5x) - sin²(5x)=0

1+cos(2*5x) - (1/2)*sin(10x) - (1-cos(2*5x) /2 =0

sin(10x) -3cos(10x) =1 и т.д.  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *