Question

21sin(x) + 20cos(x) = 14,5

Answer 1

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

21sin(x) + 20cos(x) = 14,5

ответ:  - arcsin(20/29) + (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ .

Объяснение:   метод вс угла

* * *asinα+bcosα =√(a²+b²)sin(x +φ) , где  φ =arctg(b/a) * * *

21sin(x) + 20cos(x) = 14,5 ;      √(21²+20²) =√( 441+400 =√881 =29

29( (21/29)*sin(x) + (20/29)*cos(x) )= 29/2 ;

(21/29)*sin(x) + (20/29)*cos(x) =1/2     * * *  (21/29)²+(20/29)² =1 * *

обоз.   21/29 =cosφ ⇒ 20/29 = sinφ     φ =arcsin(20/29)

sin(x +φ) = 1/2 ;

x +φ = (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ

x = - φ + (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ

x = - arcsin(20/29) + (-1)ⁿ (π/6) +π*n , n ∈ ℤ .

очевидно ,что  можно и обозначить

 21/29 =sinφ ⇒  20/29 = cosφ    φ =arccos(20/29)     * * *

cos(x - φ) = 1/2 ⇒ x - φ =±π/3 +2πn  , n ∈ ℤ⇔ x = φ ±π/3 +2πn , n ∈ ℤ ;

x = arccos(20/29) ± π/3 +2πn  , n ∈ ℤ .

Answer 2

Делим обе части уравнения на

$\sqrt{21^2+20^2}= 29$

получаем

$\frac{21}{29}\cdot sinx+\frac{20}{29}cosx=\frac{1}{2}$

Вводим вс угол:

$sin\phi=\frac{21}{29} \\ \\ cos\phi=\frac{20}{29} \\ \\ sin^2\phi+cos^2\phi=1$

Уравнение принимает вид:

$sin\phi\cdot sinx+cos\phi \cdot cosx=\frac{1}{2} \\ \\ \phi=arcsin\frac{21}{29} ;$

или

$\phi=arccos\frac{20}{29}$

Применяем формулу:

$cos(\alpha -\beta )=cos\alpha \cdot cos\beta +sin\alpha \cdot sin\beta \\ \\ cos(x-\phi)=\frac{1}{2} \\ \\ x-\phi=\pm arccos\frac{1}{2} +2\pi n, n\in Z\\ \\ x=\phi\pm\frac{\pi}{3} +2\pi n, n\in Z\\\\x=arccos\frac{20}{29} \pm\frac{\pi}{3} +2\pi n, n\in Z\\$

О т в е т.

$arccos\frac{20}{29} \pm\frac{\pi}{3} +2\pi n, n\in Z$