Question

У выражение (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1). . .(2^2048 + 1)

Answer 1

2⁴⁰⁹⁶-1

Объяснение:

раскроем скобки

$1) \ (2+1)(2^2+1)=2^3+2^2+2+1 \\ \\ 2) \ (2^3+2^2+2+1)(2^4+1)=2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1 \\ \\ 3) \ (2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1)(2^8+1)=2^{15}+2^{14}+...+2+1$

Заметим, что при раскрытии скобок получается следующая закономерность:

$(2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1)(2^n+1)$

где n-количество слагаемых в первой скобке.

Тогда последним действием будет:

$(2^{2047}+2^{2046}+...+2+1)(2^{2048}+1)=2^{4095}+2^{4094}+...+2^2+2+1$

Перепишем полученный результат справа налево:

1+2+2²+...+2⁴⁰⁹⁴+2⁴⁰⁹⁵ - полученная последовательность является суммой геометрической прогрессии со знаменателем q=2, первым членом b₁=1 и количеством членов n=4096

$S_n=b_1*\frac{1-q^n}{1-q} \\ \\ S_{4096}=1*\frac{1-2^{4096}}{1-2} =-(1-2^{4096})=2^{4096}-1$