70)
3. Даны точки M( 1; – 5), N( – 4; 7) и К(8; 2). Не выполняя построения, найдите:
а) координаты точки А, симметричной точке М относительно оси абсцисс;
с) координаты точки В, симметричной точке N относительно оси ординат;
с) координаты точки С, симметричной точке К относительно начала координат.
Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b