, по условию 
. Перенесём единицу в левую часть и разложим разность кубов на множители:
, тогда обе скобки-сомножителя - натуральные числа, большие 1. С другой стороны, произведение 
представляется в виде двух натуральных сомножителей, больших единицы, единственным (с точностью до перестановок 
. Поэтому 
, 
равны либо 
и 
, либо и .
, тогда после подстановки во второе уравнение находим 
. 
- действительно простое число, так что нас устраивает.
квадратное, а не линейное, как в первом случае. Упростив, получаем уравнение 
, у которого только один натуральный корень 
.
- простое число, так что и тут нас всё устраивает.
, 
Чтобы результат был наименьший он должен быть отрицательный. В данном случае он должен содержать 1 или 3 отрицательных множителя.
Выберем первый отрицательный множитель - в качестве него возьмем наименьшее, то есть максимальное по модулю отрицательное число - это число -5.
Далее, мы возьмем в произведение или еще два минимальных отрицательных числа или два максимальных положительных числа. Минимальные отрицательные числа (и к тому единственные оставшиеся) - числа (-3) и (-1) в произведении дают 3. Максимальные положительные числа - числа 6 и 4 в произведении дают 24. Выгоднее брать положительные числа.
Итак, необходимо выбрать числа -5, 6 и 4.
Их произведение (-5)·6·4=-120
ответ: -120