Question

Не решая уравнение x2−3|x|+1=0, найдите сумму квадратов всех его корней

Answer 1

ответ: x1^2+x2^2+x3^2+x4^2 = 14

Объяснение

x^2-3*|x|+1=0

x^2=|x|^2

|x|^2 -3*|x|+ 1= 0

Замена: |x|=t>=0

t^2-3t+1=0

По теореме Виета :

t1*t2=1

t1+t2=3

t1^2+t2^2 = (t1+t2)^2 -2*t1*t2 = 3^2 -2*1 = 7

Если произведение чисел  положительно ,  то они имеют одинаковый знак ,  но поскольку  их сумма так же  положительна ,  то  оба этих числа  положительны. И очевидно ,что корни не равны нулю.

А  значит  для каждого  t возможно два значения x :

x1=t1

x2=-t1

x3=t2

x4=-t2

Сумма квадратов всех корней :

x1^2+x2^2+x3^2+x4^2 = 2* (t1^2+t2^2) = 2*7=14

Answer 2

Не решая уравнение x² - 3|x|+ 1=0, найдите сумму квадратов всех его корней.

ответ: 14

Объяснение:        

x≥0  ⇒  x²- 3x+1=0   D =3² - 4*1 = 5 > 0  имеет действительных корней

x₁² +x₂² = (x₁ +x₂)² -2x₁*x₂ = 3² -2*1 = 7

x< 0  ⇒  x²+3x+1=0 ,  пусть  корни  x₃ и x₄

x₃² +x₄² = (-x₁)² + (-x₂)² = x₁² +x₂²  = 7

следовательно :

x₁² +x₂² +x₃² +x₄²  =2(x₁² +x₂²) =2*7 =14

* * * Корни кв. уравнений  ax² − bx+ c =0  и  ax² + bx+ c =0  

противоположных знаков , но  по модулю  равные * * *