Так как куб является правильным многогранником, то выбираем любую вершину, например, A.
Через эту вершину не проходят 3 диагонали. Все диагонали равны, и для расчётов можем построить три равных прямоугольных треугольника. Расчёты проведём в одном из них, например, в ΔAA1C.
Если длина ребра куба равна a, то диагональ грани куба равна a2–√, а диагональ куба — a3–√.
Треугольник прямоугольный, так как грани куба взаимно перпендикулярны.
Искомое расстояние вершины A до диагонали есть высота этого треугольника, проведённая к гипотенузе. Высоту можно определить, например, сравнивая выражения площади треугольника:
Пусть исходное число будет ABCD=1000A+100B+10C+D.
Из четырехзначного числа ABCD вычли сумму его цифр и получили 2016:
1000A+100B+10C+D-(А+В+С+D)=2016
Раскроим скобки и решим:
1000A+100B+10C+D-А-В-С-D=2016
999А+99В+9С=2016
Сократим на 9:
111А+11В+С=224
Очевидно, что 1<А>3, т.е. А=2 (2000).
111*2+11В+С=224
222+11В+С=224
11В+С=224-222
11В+С=2
С=2-11В, где С и В – натуральные положительные числа от 0 до 9. При значениях В от 1 до 9, С – отрицательное число.
Значит В=0, тогда С=2-11*0=2
Получаем число 202D, где D - натуральное положительное число от 0 до 9, т.е. возможные исходные значения от 2020 до 2029.
9 – максимальное значение D, значит наибольшее возможное исходное значение 2029.
Проверим: 2029 – (2+2+0+9)=2029-13=2016
ответ: наибольшее возможное исходное значение число 2029