Question

Докажите, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:
-16, -8, -4 ... ;
3, 2, 4/3, 8/9 ... ;
8, 6, 9/2, 27/8 ... ;

Answer 1

Для того чтобы геометрическая прогрессия была бесконечно убывающей, знаменатель геометрической прогрессии $q$ должен быть либо меньше 0, но больше -1, либо больше 0, но меньше 1. В таком случае геометрическая прогрессия будет стремиться к 0, но никогда его не достигнет.

Графически это выглядит так: $-1 < q < 0$ или $0 < q < 1$.

Рассмотрим наши примеры:

1) $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-8}{-16} = \frac12$. Выполняются ли условия неравенства?

$0 < \frac12 < 1$. Да, выполняются. Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

2) $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{3}$. Выполняются ли условия неравенства?

$0 < \frac23 < 1$. Да, выполняются. Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

3) $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{8} = \frac34$. Выполняются ли условия неравенства?

$0 < \frac34 < 1$. Да, выполняются. Данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.