Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции.
Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:
1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке слева.
Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:
Функция непрерывна в точке справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:
Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём. В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)
Согласно второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .
Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .
В нашем случае:
Примечание: в теории распространены записи .
Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.
Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции, наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимум функции и минимум функции. Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.
Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё «Всё
Один работает на всех трех видах, и его считают каждый раз: на токарных, на фрезерных и на шлифовальных. Вычтем его, и все числа уменьшатся на 1: 6 на токарных, 5 на фрезерных, 4 на шлифовальных, 3 на токарных и фрезерных, 2 на фрезерных и шлифовальных, и 1 на токарных и шлифовальных.
Теперь отделяем тех, кто работает только на одном станке. 6 человек работают на токарных станках, 5 на фрезерных, 3 на обоих. Значит, 3 не работают на фрезерном, и 2 не работают на токарном. Но 1 работает на токарном и шлифовальном, но не на фрезерном. Значит, 2 работника, которые работают ТОЛЬКО на токарном. 2 чела работают на фрезерных и шлифовальных, но не на токарных.
5 чел работает на фрезерных, из них 3 чела на токарных и фрезерных и 2 на фрезерных и шлифовальных. Значит, нет ни одного чела, который работает ТОЛЬКО на фрезерных.
4 чела работают на шлифовальных, из них 2 на фрезерных и шлифовальных и 1 на токарных и шлифовальных. Значит, 1 - только на шлифовальных.
Получаем такой расклад: 2 чел работают только на токарных станках. 0 чел работает только на фрезерных станках. 1 чел работает только на шлифовальных станках. 3 чел работают на токарных и фрезерных станках. 2 чел работают на фрезерных и шлифовальных станках. 1 чел работает на токарных и шлифовальных станках. 1 чел работает на всех трех типах станков.
Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции.
Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:
1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке слева.
Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:
Функция непрерывна в точке справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:
Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём. В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)
Согласно второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .
Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .
В нашем случае:
Примечание: в теории распространены записи .
Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.
Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции, наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимум функции и минимум функции. Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.
Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё «Всё