Question

Интервал (-∞:-4) является одним из решений неравенства |х2+5х+6| - 2х>a. Найди значение а и полное решение данного неравенства.

Answer 1

$|x^{2} + 5x + 6| - 2x a$

Анализируем: решение квадратного неравенства только вида $ax^{2} + bx + c 0, \ a 0,$ может содержать промежуток $x \in (- \infty; \ x_{1} ) \cup (x_{2}; \ +\infty),$ где $x_{1}, \ x_{2} \ (x_{1} < x_{2})$ — корни квадратного уравнения $ax^{2} + bx + c = 0, \ a 0.$

Раскроем модуль. Для этого воспользуемся правилом: $|x| = \displaystyle \left \{ {{x, \ x \geq 0 \ \ } \atop {-x, \ x < 0}} \right.$

1) Пусть $x^{2} + 5x + 6 \geq 0$

$x^{2} + 5x + 6 = 0$

$x_{1} = -3; \ x_{2} = -2$ — абсциссы точек пересечения с осью абсцисс.

$x \in (-\infty; \ -3] \cup [-2; \ +\infty)$

Тогда $x^{2} + 5x + 6 - 2x a$

$x^{2} + 3x + 6 - a 0$

$x^{2} + 3x + 6 - a = 0$

$D = 3^{2} - 4 \cdot (6 - a) = 9 - 24 + 4a = 4a - 15$

$x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{4a - 15} }{2}$

Решением исходного неравенства будет $\left[\begin{array}{ccc}x < \dfrac{-3 - \sqrt{4a - 15} }{2} \\ \\x \dfrac{-3 + \sqrt{4a - 15} }{2}\\\end{array}\right$

Следовательно, зная интервал $x \in (-\infty; \ -4)$, определим значение параметра $a$:

$\dfrac{-3 - \sqrt{4a - 15} }{2} = -4$

$-3 - \sqrt{4a - 15} } =-8$

$\sqrt{4a - 15} } = 5$

$4a - 15 = 25$

$4a = 40$

$a = 10$

Таким образом, $x_{1} = \dfrac{-3 - \sqrt{4 \cdot 10 - 15} }{2} = -4$ и $x_{2} = \dfrac{-3 + \sqrt{4 \cdot 10 - 15} }{2} = 1$

Решение: $x \in (- \infty; \ -4) \cup (1; \ +\infty)$

При пересечении условия модуля $x \in (-\infty; \ -3] \cup [-2; \ +\infty)$ получаем окончательное решение: $x \in (- \infty; \ -4) \cup (1; \ +\infty)$ при $a = 10$

2) Если $x^{2} + 5x + 6 < 0$, то получаем $-(x^{2} + 5x + 6) - 2x a$ с отрицательным коэффициентом перед $x^{2}$: это означает, что решением квадратного неравенства вида $ax^{2} + bx + c 0, \ a < 0,$ будет промежуток $x \in (x_{1}; \ x_{2})$, где $x_{1}, \ x_{2} \ (x_{1} < x_{2})$ — корни квадратного уравнения $ax^{2} + bx + c = 0, \ a < 0.$ Этот случай нас не устраивает.

ответ: $x \in (- \infty; \ -4) \cup (1; \ +\infty)$ при $a = 10$