P(5) = 32
Объяснение:
Многочлен 4 степени записывается так:
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
В условии нам даны значения:
P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = a + b + c + d + e = 0
P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8
P(4) = a*4^4 + b*4^3 + c*4^2 + d*4 + e = 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0
Кроме того, нам известно, что этот многочлен при любом x принимает значения P(x) >= 0.
Это значит, что в точках x = 1 и x = 4 он имеет минимумы, равные 0.
Берем производную P'(x):
P'(x) = 4x^3 + 3bx^2 + 2cx + d
Мы знаем, что она равна 0 при x = 1 и при x = 4:
P'(1) = 4a*1^3 + 3b*1^2 + 2c*1 + d = 4a + 3b + 2c + d = 0
P'(4) = 4a*4^3 + 3b*4^2 + 2c*4 + d = 256a + 48b + 8c + d = 0
Получили систему 5 линейных уравнений с 5 неизвестными.
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8 (2)
{ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0 (3)
{ 4a + 3b + 2c + d = 0 (4)
{ 256a + 48b + 8c + d = 0 (5)
Умножаем (1) на -16 и складываем с (2).
Умножаем (1) на -256 и складываем с (3).
Умножаем (1) на -4 и складываем с (4).
Умножаем (1) на -256 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 8 (2)
{ 0a - 192b - 240c - 252d - 255e = 0 (3)
{ 0a - b - 2c - 3d - 4e = 0 (4)
{ 0a - 208b - 248c - 255d - 256e = 0 (5)
Теперь (4) делим на -1, а (3) делим на 3.
И перепишем уравнения немного в другом порядке:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 8 (2)
{ 0a - 64b - 80c - 84d - 85e = 0 (3)
{ 0a - 208b - 248c - 255d - 256e = 0 (5)
Умножаем (4) на 8 и складываем с (2).
Умножаем (4) на 64 и складываем с (3).
Умножаем (4) на 208 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 8 (2)
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0 (3)
{ 0a + 0b + 168c + 369d + 576e = 0 (5)
Делим (5) на 3:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 8 (2)
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0 (3)
{ 0a + 0b + 56c + 123d + 192e = 0 (5)
Умножаем (2) на -12, а (3) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 48c - 120d - 204e = -96
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96 (3)
Умножаем (2) на -14, а (5) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 56c - 140d - 238e = -112 (2)
{ 0a + 0b + 56c + 123d + 192e = 0 (5)
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112 (5)
Собираем все уравнения обратно в систему и перенумеруем их:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112 (5)
Последний шаг. Умножаем (4) на -17, а (5) умножаем на 12:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c + 204d + 561e = 1632 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 204d - 552e = -1344 (5)
И складываем (4) и (5):
9e = 288
e = 288 : 9 = 32
Подставляем в (4):
0a + 0b + 0c - 12d - 33*32 = -96 (4)
-12d = 33*32 - 96 = 960
d = -960/12 = -80
Подставляем в (3):
0a + 0b + 4c + 10(-80) + 17*32 = 8 (3)
4с = 80*10 - 17*32 + 8 = 800 - 544 + 8 = 264
c = 264/4 = 66
Подставляем в (2):
0a + b + 2*66 + 3(-80) + 4*32 = 0 (2)
b = -132 + 240 - 128 = -20
Подставляем в (1):
a - 20 + 66 - 80 + 32 = 0 (1)
a = 20 - 66 + 80 - 32 = 2
Итак, мы получили коэффициенты этого многочлена:
P(x) = 2x^4 - 20x^3 + 66x^2 - 80x + 32
И, наконец-то, находим P(5):
P(5) = 2*5^4 - 20*5^3 + 66*5^2 - 80*5 + 32 =
= 2*625 - 20*125 + 66*25 - 400 + 32 =
= 1250 - 2500 + 1650 - 400 + 32 = 32
График этого многочлена на рисунке.
Пусть х - скорость второго туриста, тогда скорость первого туриста = х + 1
время пути первого туриста = S/v = 20/(x+1)
время пути второго туриста = S/v = 20/x
известно, что первый приходит на час раньше второго, тогда:
время второго + час = время первого
20/(x + 1) + 1 = 20/x (одз: х не равно 0; х не равно - 1)
20/(х + 1) + (х + 1)/(х + 1) = 20/х
(х + 21)/(х + 1) = 20/х
20(х + 1) = х(х + 21)
20х + 20 = х² + 21х
х² + х - 20 = 0
D = 1² + 4×20 = 81 = 9²
х1 = (-1 + 9)/2 = 4 км/ч - скорость второго
х2 = (-1 - 9)/2 = -5 - не подходит по смыслу задачи
х1 + 1 = 5 км/ч - скорость первого
ответ: 4 км/ч; 5 км/ч
Объяснение:
Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О - выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем n=4. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию "орел выпадет ровно один раз", это комбинации ОР и РО и их ровно m=2. Тогда искомая вероятность равна P=2/4=1/2=0.5. Готово!
Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.
Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, n=4. А вот условию "оба раза выпала одна сторона" удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда m=2. Нужная вероятность равна P=2/4=1/2=0.5.