Question

D^2y/dx^2-6dy/dx=13=0 y=3 и dy/dx=11 при

Answer 1

Хорошо, давайте рассмотрим данный вопрос поэтапно для лучшего понимания.

У нас есть дифференциальное уравнение второго порядка:
(D^2y/dx^2) - 6(dy/dx) + 13 = 0,

где D^2y/dx^2 обозначает вторую производную y по x, dy/dx - первую производную, а y - функцию, зависящую от x.

Для решения этого уравнения, мы должны найти общую формулу решения.

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение.

Для этого подставим y = e^(kx) в дифференциальное уравнение и заменим производные соответственно:

k^2e^(kx) - 6ke^(kx) + 13e^(kx) = 0.

Шаг 2: Факторизуем полученное уравнение.

e^(kx)(k^2 - 6k + 13) = 0.

Шаг 3: Решим квадратное уравнение k^2 - 6k + 13 = 0.

Используя квадратное уравнение, мы можем найти решения для k:

k = [-(-6) ± √((-6)^2 - 4(1)(13)) ] / (2(1)),

k = [6 ± √(-20)] / 2,

k = [6 ± √(20)i] / 2.

Шаг 4: Разобьем полученное k на две части.

k1 = 3 + √5i и k2 = 3 - √5i.

Шаг 5: Используем формулу решения для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Общая формула решения имеет вид: y = C1e^(k1x) + C2e^(k2x).

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 6: Найдем значение постоянных C1 и C2, используя начальные условия.

Нам дано, что y = 3 и dy/dx = 11 при x = 0.

Подставим эти значения в общую формулу решения:

y = C1e^(k1x) + C2e^(k2x).

При x = 0, получим:

3 = C1e^(0) + C2e^(0),
3 = C1 + C2.

Далее, возьмем производную от y:

dy/dx = C1k1e^(k1x) + C2k2e^(k2x).

При x = 0, получим:

11 = C1k1 + C2k2.

Шаг 7: Найдем значения C1 и C2 из системы уравнений.

Решим систему уравнений:

3 = C1 + C2,

11 = C1k1 + C2k2.

Мы решим это с помощью метода подстановки:

3 = C1 + C2,
11 = C1(3 + √5i) + C2(3 - √5i).

Раскроем скобки справа и сгруппируем одинаковые элементы:

3 = (C1 + C2) + √5i (C1 - C2).

11 = 3C1 + 3C2 + √5i(C1 - C2).

По сравнению соответствующих коэффициентов, получаем:

C1 + C2 = 3,

√5i (C1 - C2) = 11 - 3C1 - 3C2.

Шаг 8: Решим эту систему уравнений для C1 и C2.

Используем первое уравнение системы для выражения C1 через C2:

C1 = 3 - C2.

Подставим это во второе уравнение системы:

√5i [(3 - C2) - C2] = 11 - 3(3 - C2) - 3C2,

√5i (3 - 2C2) = 11 - 9 + 3C2 - 3C2,

√5i (3 - 2C2) = 2,

3 - 2C2 = 2/√5i,

2C2 = 3 - 2/√5i,

C2 = (3/2) - (1/√5) / (2/√5i).

Simplify C2:

C2 = (3 - (2/√5)i) / (2√5).

Подставим значение C2 в C1:

C1 = 3 - C2,

C1 = 3 - ((3 - (2/√5)i) / (2√5)).

Шаг 9: Окончательное решение

Теперь, используя значения C1 и C2, мы получим окончательное решение дифференциального уравнения:

y = C1e^(k1x) + C2e^(k2x),

где C1 = 3 - ((3 - (2/√5)i) / (2√5)) и C2 = (3 - (2/√5)i) / (2√5).

Это окончательный ответ на данный вопрос.