В иррациональных уравнениях кроме ОДЗ нужно всегда учитывать дополнительные условия (ДУ) или всегда для проверки подставлять полученные корни в исходное уравнение.
Рассмотрим исходное уравнение: 
Далее мы возводим это уравнение в квадрат, но это неэквивалентный переход - например, неправильное равенство -1 = 1 переходит в правильное 1 = 1, поэтому на этом этапе легко приобрести лишние корни, что и произошло.
В правой части исходного уравнения находится неотрицательный корень, поэтому в ДУ необходимо потребовать неотрицательность левой части: 
Как раз это ДУ и позволяет в процессе решения откинуть лишний корень 
Объяснение:
1/(x+2) <= 1/(4x-1)
1/(x+2) - 1/(4x-1)≤0
(4x-1-x-2)/[(x+2)(4x-1)]≤0
(3x-3)/[(x+2)(4x-1)]≤0
3(x-1)/[(x+2)(4x-1)]≤0
решим методом интервалов
корни знаменателя х₁=-2 ; x₂=1/4=0,25
корень числителя х₃=1
далее см. картинка
ответ
х∈(-∞;-2)∪(0,25;1]