Question

Решите 2 интегралла, подробно

Answer 1

Объяснение:

1.

∫(2x*√(x+3))dx

Делаем замену переменной:

x+3=t²     ⇒

x=t²-3       dx=2tdt

∫(2*(t²-3)*t*2t)dt=∫(4t²*(t²-3))dt=∫(4t⁴-12t²)dt=∫4t⁴dt-∫12t²dt=(4t⁵/5)-4t³.

2.

∫(dx/√(e²ˣ-1))

Подведём под знак дифференциала еˣ:

еˣdx=d(eˣ)          dx=d(eˣ)/eˣ      ⇒

∫(d(eˣ)/(eˣ*√(e²ˣ-1))

Пусть еˣ=t      ⇒

∫(dt/(t*√(t²-1))

Делаем замену: t²-1=v²  ⇒   t²=v²+1     t=√(v²+1)   dt=v*dv/√(v²+1)    v=√(t²-1).

$\int\limits {\frac{1}{v*\sqrt{v^{2} +1} } } \,*\frac{v}{\sqrt{v^{2} +1} } dv =\int\limits {\frac{1}{v^{2}+1 } } \, dv =arctgv=arctg(\sqrt{t^{2}-1 } )=arctg(\sqrt{e^{2x} -1} ).$