Если в условии действительно H > |G + I|, то утверждение, очевидно, неверно: например, система 3x - y - z = 0 -x + 3y - z = 0 -x + 3y - z = 0 кроме решения (0, 0. 0) имеет решение (1, 1, 2).
Если в действительности I > |G + H|, G, H < 0, то утверждение становится верным: Разделим первое уравнение на A, второе на E, третье на I и переобозначим получившиеся коэффициенты: x - ay - bz = 0 -cx + y - dz = 0 -ex - fy + z = 0
Исходя из условия a, b, c, d, e, f > 0; a + b < 1, c + d < 1, e + f < 1.
Умножаем первое уравнение на c и складываем со вторым, умножаем на e и складываем с третьим: x - ay - bz = 0 (1 - ac) y - (d + bc) z = 0 -(f + ae) y + (1 - be) z = 0
Так как 0 < a, b, c, e < 1, то 1 - ac, f + ae > 0. Прибавим к третьему уравнению, домноженному на (1 - ac), второе, домноженное на (f + ae): x - ay - bz = 0 (1 - ac) y - (d + bc) z = 0 [(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae)] z = 0
Рассматриваем коэффициент перед z в третьем уравнении: (1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae) = 1 + abce - ac - be - df - bcf - ade - abce = 1 - (ac + be + df + bcf + ade)
Оценим выражение в скобках, учтя, что b < 1 - a, d < 1 - c, f < 1 - e: ac + be + df + bcf + ade < ac + (1 - a)e + (1 - c)(1 - e) + (1 - a)c(1 - e) + a(1 - c)e = 1.
Тогда коэффициент перед z положительный, на него можно разделить и получить, что z = 0. Подставляем z = 0 во второе уравнение и получаем, что y = 0. Подставляем y = z = 0 и получаем, что x = 0.
Выражения х^4+25 или +9 всегда положительны, поэтому снимаем с них знак модуля . Тогда х^4 сокращается, т к стоит по разные стороны равенства. Первое выражение отрицательно при -3<х< 3, а второе при -5<х<5. Получаем 5 возможностей: 1. х<-5 х^2-9+25=х^2-25+9 пустое множество решений 2 -5<x< -3 х^2-9+25=25-х^2+9 2х^2=18 х^2=9 х=-3 не входит в интервал 3. -3≤х≤3 9-х^2+25=25-х^2+9 или 0=0 все точки этого интервала 4. 3<х<5 аналогично 2. : х=3 не входит в интервал 5 очевидно, что решений нет -3≤х≤3
3x - y - z = 0
-x + 3y - z = 0
-x + 3y - z = 0
кроме решения (0, 0. 0) имеет решение (1, 1, 2).
Если в действительности I > |G + H|, G, H < 0, то утверждение становится верным:
Разделим первое уравнение на A, второе на E, третье на I и переобозначим получившиеся коэффициенты:
x - ay - bz = 0
-cx + y - dz = 0
-ex - fy + z = 0
Исходя из условия a, b, c, d, e, f > 0; a + b < 1, c + d < 1, e + f < 1.
Умножаем первое уравнение на c и складываем со вторым, умножаем на e и складываем с третьим:
x - ay - bz = 0
(1 - ac) y - (d + bc) z = 0
-(f + ae) y + (1 - be) z = 0
Так как 0 < a, b, c, e < 1, то 1 - ac, f + ae > 0.
Прибавим к третьему уравнению, домноженному на (1 - ac), второе, домноженное на (f + ae):
x - ay - bz = 0
(1 - ac) y - (d + bc) z = 0
[(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae)] z = 0
Рассматриваем коэффициент перед z в третьем уравнении:
(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae) = 1 + abce - ac - be - df - bcf - ade - abce = 1 - (ac + be + df + bcf + ade)
Оценим выражение в скобках, учтя, что b < 1 - a, d < 1 - c, f < 1 - e:
ac + be + df + bcf + ade < ac + (1 - a)e + (1 - c)(1 - e) + (1 - a)c(1 - e) + a(1 - c)e = 1.
Тогда коэффициент перед z положительный, на него можно разделить и получить, что z = 0.
Подставляем z = 0 во второе уравнение и получаем, что y = 0.
Подставляем y = z = 0 и получаем, что x = 0.
x = y = z = 0, ура.