Чтобы решить данное неравенство, нам нужно воспользоваться свойствами логарифмов и методом замены переменной. Давайте разберемся с каждым шагом подробно.
Шаг 1: Перепишем неравенство с помощью свойств логарифмов.
Исходное неравенство имеет вид: logx^4(5x-4) >= log5x-4(5-4/x).
Применим свойство логарифма: log(a^b) = b * log(a).
Получим: 4 * logx(5x-4) >= (log(5x-4) - log(5-4/x)) * log5.
Пусть y = logx(5x-4), тогда наше неравенство примет вид: 4y >= log5 * log(x).
Шаг 5: Делаем преобразования для решения неравенства.
Домножим обе части неравенства на log(x), учитывая, что log(x) > 0 для x > 1:
4y * log(x) >= log5 * log(x) * log(x).
Упростим выражение:
4y * log(x) >= log5 * (log(x))^2.
Шаг 7: Теперь можно решить это неравенство. У нас получилось квадратное неравенство.
Если мы положим F = 4y и C = log5 * (log(x))^2, то наше неравенство будет выглядеть следующим образом:
F >= C.
Шаг 8: Найдем допустимые значения переменной x.
Для того чтобы значение log(x) было определено и неравнество имело смысл, должны выполняться следующие условия:
1) Знаменатель в логарифме не должен равняться нулю,
то есть (5x-4) ≠ 0 и (5-4/x) ≠ 0.
2) Выражение в аргументе логарифма должно быть положительным,
то есть (5x-4) > 0 и (5-4/x) > 0.
Для (5x-4) ≠ 0 получаем условие x ≠ 4/5.
Для (5-4/x) ≠ 0 получаем условие x ≠ 4.
Для (5x-4) > 0 получаем условие x > 4/5.
Для (5-4/x) > 0 получаем условие x > 4.
3) Квадратный корень (log(x))^2 должен быть определен и неотрицательный:
(log(x))^2 ≥ 0.
(log(x))^2 = 0 при log(x) = 0. То есть x = 1.
Шаг 9: Подставим случаи, при которых неравенство возможно.
Исследование производим в следующих случаях:
a) x > 4/5.
b) 4/5 < x < 4.
c) x > 4.
а) Пусть x > 4/5.
Тогда для x условие (5x-4) > 0 выполнено.
Допустимые значения переменных: x ≠ 4/5, x > 4.
Разделим обе части неравенства на log(x):
Таким образом, неравенство выполняется для всех значений x, удовлетворяющих условиям x ≠ 4/5, x > 4.
б) 4/5 < x < 4.
Тогда для x условия (5x-4) > 0 и (5-4/x) > 0 не выполняются.
Допустимые значения переменных: 4/5 < x < 4.
В данном случае неравенство не имеет решений.
в) Пусть x > 4.
Тогда для x условие (5-4/x) > 0 выполнено.
Допустимые значения переменных: x ≠ 4, x > 4.
Разделим обе части неравенства на log(x):
Дано условие: bn = -300 * (-1/5)n, где n - номер члена прогрессии.
1. Для начала заметим, что данный общий член прогрессии представляет собой произведение двух множителей: -300 и (-1/5)n.
2. Первый множитель -300 является постоянным и не зависит от номера члена прогрессии n.
3. Второй множитель (-1/5)n зависит от номера члена прогрессии n, и он принимает значения -1/5, (-1/5)2, (-1/5)3 и т.д.
4. Теперь мы можем выразить общий член прогрессии bn: bn = -300 * (-1/5)n.
5. Чтобы найти b4, подставим n = 4 в полученное выражение: b4 = -300 * (-1/5)4.
6. Возведем (-1/5) в степень 4: (-1/5)4 = (-1/5) * (-1/5) * (-1/5) * (-1/5) = 1/625.
7. Теперь подставим полученное значение в выражение для b4: b4 = -300 * 1/625.
8. Выполним умножение: b4 = -300/625.
9. Приведем дробь к несократимому виду: b4 = -12/25.
Ответ: b4 = -12/25.
Таким образом, четвертый член прогрессии равен -12/25.