1.Разложите на множители многочлены:
а)75-3a^3
б)3x^2+12x+12
2.Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а)(3+x)(x-3)-(3-x)^2
б)(2x-4)^2-(2x+3)^2
3.Докажите тождество:
(x-y)^3=x^3-y^3-3xy*(x-y)
Найдите значение числового выражения:
37^2+2*37*13*13^2
1. Разложение на множители многочленов:
а) 75 - 3a^3
Для начала, мы можем заметить, что 75 и 3a^3 содержат общий множитель 3. Мы можем выделить этот множитель:
75 - 3a^3 = 3(25 - a^3)
Далее, мы видим, что (25 - a^3) является разностью куба и квадрата, которую можно представить в виде (a^2 - 5)(a^4 + 5a^2 + 25). Итак, полное разложение на множители:
75 - 3a^3 = 3(a^2 - 5)(a^4 + 5a^2 + 25)
б) 3x^2 + 12x + 12
Начнем с поиска общего множителя. В данном случае, 3 является общим множителем для всех трех членов многочлена:
3x^2 + 12x + 12 = 3(x^2 + 4x + 4)
Затем, мы замечаем, что (x^2 + 4x + 4) является квадратным триномом, который можно разложить в виде (x + 2)^2. Таким образом, полное разложение на множители:
3x^2 + 12x + 12 = 3(x + 2)^2
2. Преобразование выражений в многочлены стандартного вида:
а) (3 + x)(x - 3) - (3 - x)^2
Давайте по порядку выполним вычисления:
(3 + x)(x - 3) - (3 - x)^2 = (3x - 9 + x^2 - 3x) - (9 - 6x + x^2)
Теперь сложим и вычитаем аналогичные члены:
3x - 9 + x^2 - 3x - 9 + 6x - x^2 = -18 + x
Итак, преобразованное выражение в многочлен стандартного вида равно:
(3 + x)(x - 3) - (3 - x)^2 = -18 + x
б) (2x - 4)^2 - (2x + 3)^2
Выполним вычисления:
(2x - 4)^2 - (2x + 3)^2
= (4x^2 - 16x + 16) - (4x^2 + 12x + 9)
Теперь вычитаем аналогичные члены:
4x^2 - 16x + 16 - 4x^2 - 12x - 9 = -28x + 7
Итак, преобразованное выражение в многочлен стандартного вида:
(2x - 4)^2 - (2x + 3)^2 = -28x + 7
3. Доказательство тождества:
(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)
Для начала, разложим левую сторону выражения в виде (x - y)(x - y)(x - y):
(x - y)(x - y)(x - y) = (x^2 - 2xy + y^2)(x - y)
Затем умножим полученные множители:
(x^2 - 2xy + y^2)(x - y) = x^3 - xy^2 - x^2y + 2xy^2 + y^3 - xy^2 + 2xy^2 - y^3
Мы видим, что некоторые члены сокращаются, а остальные можно сложить:
x^3 - xy^2 - x^2y + 2xy^2 + y^3 - xy^2 + 2xy^2 - y^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)
Итак, мы доказали заданное тождество.
4. Вычисление числового выражения:
37^2 + 2 * 37 * 13 * 13^2
Давайте выполним вычисления по порядку:
37^2 = 37 * 37 = 1369
Затем, упростим оставшуюся часть:
2 * 37 * 13 * 13^2 = 2 * 37 * 13 * 169
Теперь умножим полученные числа:
2 * 37 * 13 * 169 = 4392596
Наконец, сложим результаты:
1369 + 4392596 = 4393965
Итак, значение числового выражения равно 4393965.