Графиком линейной функции y = kx + b является прямая.
Рассмотрим первый пример - линейную функцию y = 0,5x − 2 .
Здесь k = 0,5 и b = - 2
Для построения любой прямой необходимо знать две точки, найдем их:
y = 0,5x − 2 Тогда:
если x = 0, то y = −2; точка пересечения с осью ординат
если x = 2, то y = −1;
если x = 4, то y = 0 точка пересечения с осью абсцисс
Точки пересечения с осями координат находят:
Ox: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю
y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Oy: Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю.
y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
Чтобы построить график данной функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции.
Построим на координатной плоскости xOy точки (0; −2) и (4;0) и проведём через них прямую.
Рассмотрим второй пример - линейную функцию y = −2x + 1
если x = 0, то y = 1; точка пересечения с осью ординат
если x = -3, то y = 2;
если x = 7, то y = -3 и т.д.
Построим на координатной плоскости xOy точки (−3;7) и (2;−3) и
проведём через них прямую.
Обратите особое внимание на функцию «y = 0,7x». Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b». Рассматривая функцию «y = 0,7x», неверно утверждать, что числового коэффициента «b» в функции нет.
Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда. В функции «y = 0,7x» числовый коэффициент «b» равен нулю.
Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.
В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k>0, то график наклонен вправо. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
если k<0, то график наклонен влево
Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b<0, то график функции y = kx + b получается из графика функции y = kx сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY
Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.
Свойства линейной функции:
1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;
2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;
3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.
a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;
b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.
4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;
5) Точки пересечения с осями координат:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.
Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.
Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.
6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞),
y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k).
b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k),
y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,
k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.
k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,
k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b
Подведем итоги в виде таблицы:
4sinxcosx - 3sin²x =sin²x +cos²x ;
4sin²x - 4sinxcosx +cos²x =0 ;
(2sinx -cosx)² =0 ;
2sinx -cosx = 0 ;
cosx =2sinx || разделим обе части на sinx ≠0 ;
* * *противном случае(sinx =0)получилось бы и cosx =0, но sin²x+cos²x =1* * *
ctqx =2 ;
x =arcctq2 +πn ,n∈Z .
ответ: arcctq2 +πn ,n∈Z .
* * * * * * * как не надо решать (нерационально) * * * * * * *
4sinxcosx - 3sin²2x =1 ;
2sin2x -3(1 -cos2x)/2 =1 ;
4sin2x +3cos2x =4 ;
* ** 4sin2x +3cos2x =√(4²+3²)((4/5)*sin2x +(3/5)*cos2x )=
5(cosα*sin2x +sinα*cos2x)= 5sin(2x +α) ,где α =arctq(3/4) или α =arcsin(3/5)* * *
5sin(2x +α) =4 ;
sin(2x +α) =4/5 ;
2x+α =(-1)^(n) arcsin(4/5) +π*n , n∈Z ;
2x= -α+ (-1)^(n) arcsin(4/5) +π*n , n∈Z ;
x= -α/2+ (1/2)*(-1)^(n) arcsin(4/5) +π/2*n , n∈Z.
ответ: -1/2arcsin(3/5)+ (1/2)*(-1)^(n) arcsin(4/5) +π/2*n , n∈Z .