Если обозначить С(m,n) - число сочетаний n из m, то есть
С(m,n) = m!/(n!*(m-n)!)
то общее число ВАРИАНТОВ вынуть 5 билетов из 100 равно C(100,5)
При этом, если известно, что в этих 5 билетах ровно к выгрышных и (5 - к) невыгрышных, то число разных вариантов сильно сокращается, и равно числу вариантов вынуть к из 20, умножить на число вариантов выбрать 5 - к из 80 (а почему умножить? на каждый вариант из C(20, к) сочетаний первой группы приходится С(80, 5 - к) второй..)
Поэтому вероятность попасть в благоприятный исход равна
С(20, к)*С(80, 5 - к)/C(100, 5);
1. в первом случае к = 5, 5 - к = 0, то есть
р = С(20,5)/С(100,5)
2. событие дополнительно событию, когда достали 5 невыгрышных билетов, то есть
р = 1 - С(80,5)/С(100,5)
3. р = С(20, 2)*С(80, 3)/C(100, 5);
ответ: 7.11. в ящику знаходиться 12 деталей, виготовлених заводом №1, 20 деталей – заводом №2 і 18 – заводом №3. ймовірність того, що деталь, виготовлена заводом №1, відмінної якості, дорівнює 0,9; для деталей, виготовлених на заводах №2 і №3, ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,6 і 0,9. знайти ймовірність того, що взята навмання деталь виявиться відмінної якості.
7.12. в першій урні знаходиться 10 куль, 8 із яких білі; в другій урні 20 куль, із них 4 білі. із кожної урни навмання беруть по одній кулі, а потім із цих двох куль навмання беруть одну. знайти ймовірність того, що витягли білу кулю.
7.13. у кожній із трьох урн знаходиться 6 чорних і 4 білих кулі. із першої урни навмання витягли одну кулю і переклали її в другу урну, після цього із другої урни навмання витягли одну кулю і переклали в третю урну. знайти ймовірність того, що куля, навмання взята із третьої урни, буде білою.
в городе екатеринбург он ожил на своих похоронах
люди попадали в обмороки, когда он
7.14. ймовірність того, що під час роботи цифрової електронної машини відбудеться збій в арифметичному пристрої, в оперативній пам’яті, в інших пристроях, співвідносяться як 3: 2: 5. ймовірність того, що збій буде знайдено в арифметичному пристрої, в оперативній пам’яті, в інших пристроях відповідно дорівнює 0,8: 0,9: 0,9. знайти ймовірність того, що збій в машині буде знайдено.
7.15. продукція виготовляється на двох підприємствах і надходить на спільну базу. ймовірність виготовлення бракованої продукції для першого підприємства дорівнює 0,1, для другого – 0,2. перше підприємство здало на склад 100 одиниць продукції, друге – 400. знайти ймовірність того, що навмання взята зі складу одиниця продукції буде не бракованою.
7.16. на склад підприємства надходять деталі із трьох цехів. перший цех відправив 100 деталей, другий і третій – по 200. перший і другий цехи по 2% браку, третій – 1%. знайти ймовірність того, що навмання взята деталь бракована.
7.17. два верстати виготовляють деталі, які поступають на конвеєр. з першого верстата надійшло 400 деталей, а з другого на 50% більше. перший верстат дає 2% браку, другий – 3%. знайти ймовірність того, що навмання взята деталь з конвеєра бракована.
7.18. у першому ящику є 20 деталей, з яких 30% пофарбовано, у другому 10 деталей і 4% пофарбовано. знайти ймовірність того, що деталь, взята з навмання вибраного ящика, пофарбована.
7.19. в урні 4 білі і 4 чорні кульки. два гравці почергово виймають із урни по кульці, не повертаючи їх назад. виграє той гравець, котрий раніше витягне білу кульку. знайти ймовірність того, що: а) виграє перший гравець; б) виграє другий гравець.
7.20. маємо три урни. у першій міститься 6 білих і 4 чорних кульки, у другій – 8 білих і 2 чорних і в третій – 1 біла і 1 чорна. із першої урни навмання беруть три кульки, а із другої – дві і у третю урну. яка ймовірність після цього вийняти із третьої урни білу кульку?
7.21. серед n екзаменаційних білетів є п „щасливих”. студенти підходять за білетами один за одним. у кого більша ймовірність узяти „щасливий” білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?
8. формула байєса
якщо випробування проведено і в результаті нього подія а з’явилася, то умовна ймовірність рa(вk) може не дорівнювати р(вk). порівняння цих ймовірностей дозволяє переоцінити ймовірність гіпотези за умови, що подія а з’явилася. для цього використовують формулу байєса:
, k=1,2,…,n.
розв’язок типових
приклад 8.1. два автомати виготовляють однакові деталі, які надходять на спільний конвеєр. продуктивність першого автомата вдвічі більша за продуктивність другого. перший автомат випускає в середньому 60% деталей без браку, а другий – 84%. навмання взята з конвеєра деталь виявилась без браку. знайти ймовірність того, що ця деталь виготовлена першим автоматом.
розв’язання. позначимо через а подію – деталь без браку. можна сформулювати дві гіпотези: в1 – деталь виготовлена першим автоматом (оскільки перший автомат виготовляє вдвічі більше деталей, ніж другий): р(в1)=; в2 – деталь виготовлена другим автоматом, причому р(в2)=. умовна ймовірність того, що деталь буде без браку, якщо вона зроблена першим автоматом, дорівнює . умовна ймовірність того, що деталь буде без браку, якщо вона зроблена другим автоматом, дорівнює . ймовірність того, що навмання взята деталь виявиться без браку, за формулою повної ймовірності дорівнює: