Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
3х^5-20х^3+9 (-10;-1)

Answer 1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на данном отрезке, нам необходимо сначала найти экстремумы функции на этом интервале. Экстремумы функции - это места, где функция достигает своих максимальных и минимальных значений.

По заданной функции f(x) = 3x^5 - 20x^3 + 9, мы можем использовать производные функции для нахождения экстремумов. Для этого найдем производную функции f'(x):

f'(x) = 15x^4 - 60x^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x:

15x^4 - 60x^2 = 0

Разложим это уравнение на множители:

15x^2(x^2 - 4) = 0

Из этого уравнения мы получаем два значения для x:

x1 = 0
x2 = ±2

Теперь нам нужно определить, является ли каждая точка экстремумом или нет. Для этого найдем вторую производную f''(x):

f''(x) = 60x^3 - 120x

Подставим найденные значения x1 = 0, x2 = ±2 во вторую производную:

f''(0) = 60(0)^3 - 120(0) = 0
f''(2) = 60(2)^3 - 120(2) = 480
f''(-2) = 60(-2)^3 - 120(-2) = -480

Из этих значений видно, что f''(0) = 0, а f''(2) и f''(-2) имеют разные знаки. Это означает, что точка x = 0 не является экстремумом, а точки x = 2 и x = -2 являются экстремумами.

Теперь найдем значения функции f(x) в найденных экстремумах и на концах отрезка (-10,-1):

f(-10) = 3(-10)^5 - 20(-10)^3 + 9 = 30000 - 20000 + 9 = 10009
f(-1) = 3(-1)^5 - 20(-1)^3 + 9 = -3 + 20 + 9 = 26
f(-2) = 3(-2)^5 - 20(-2)^3 + 9 = -96 - 160 + 9 = -247
f(2) = 3(2)^5 - 20(2)^3 + 9 = 96 - 160 + 9 = -55

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке (-10,-1) равно 26, а наименьшее значение функции равно -247.