Надо раскрыть знак модуля, пользуясь правилом ІхІ =х, при x >=0 IxI = -x, при x <0
- Если неравенство IxI < b, то оно равносильно двойному неравенству -b< x < b, это при условии, что b положительное, а если b отрицательное или 0, то неравенство не имеет решений. - Если неравенство IxI > b, то переходим к системе неравенств x < - b x > b Это тоже при условии, что b положительное, а если b отрицательное, то решением будут все числа, а если b=0, то решением будут все числа, кроме ноля - Если неравенство Ix-aI + Ix-bI >c, то находим нули подмодульных выражений, разбиваем координатную прямую на промежутки, раскрываем знак модуля на каждом промежутке и решаем полученные неравенства. - Если неравенство Ix -aI > Ix -bI, то можно возвести в квадрат обе части и решить полученное неравенство. - Еще можно по графику смотреть Примеры. 1) I2x + 3I < 5. Переходим к системе -5 < 2x +3 < 5 -5 -3 < 2x < 5 - 3 -8 < 2x < 2 -4 < x < 1 x Є (-4; 1) 2) Ix + 2I < Ix -10I. Возводим в квадрат обе части. x^2 + 4x + 4 < x^2 - 20x + 100 4x + 20x < 100 - 4 24x < 96 x < 4 x Є (- бесконечность; 4)
2 Сos² 2x -1 +Cos 2x = 0 2 Cos² 2x - Cos x -1 = 0 Решаем как квадратное a) Cos 2x = 1 б) Cos 2x = -1/2 2x = 2πk, где к ∈Z 2x = +- arc Cos (-1/2) +2π n , где n∈Z х = π к, где к∈Z 2x = +-2π/3 + 2πn, где n∈Z x = +- π/3 + πn,где n∈ Z Получили 2 группы корней. Будем искать корни, которые попадают в указанный промежуток Разберёмся с указанным отрезком на числовой прямой -π -π/2 0 π/3 а) х = πк,где к ∈Z k = -1 x = -π ( попадает в указанный отрезок) к = 0 х = 0 ( попадает в указанный отрезок) к = 1 к = 2 х = 2π( не попадает в указанный отрезок) б) х = +- π/3 +πn,где n ∈Z n = 0 x = +-π/3 (попадает в указанный отрезок) n = 1 х = π/3 + π( не попадает) х= - π/3 +π ( не попадает) n = -1 x = π/3 - π = -2π/3( попадает) х = -π/3 -π(не попадает)
ІхІ =х, при x >=0
IxI = -x, при x <0
- Если неравенство IxI < b, то оно равносильно двойному неравенству -b< x < b, это при условии, что b положительное, а если b отрицательное или 0, то неравенство не имеет решений.
- Если неравенство IxI > b, то переходим к системе неравенств
x < - b
x > b
Это тоже при условии, что b положительное, а если b отрицательное, то решением будут все числа, а если b=0, то решением будут все числа, кроме ноля
- Если неравенство Ix-aI + Ix-bI >c, то находим нули подмодульных выражений, разбиваем координатную прямую на промежутки, раскрываем знак модуля на каждом промежутке и решаем полученные неравенства.
- Если неравенство Ix -aI > Ix -bI, то можно возвести в квадрат обе части и решить полученное неравенство.
- Еще можно по графику смотреть
Примеры.
1) I2x + 3I < 5. Переходим к системе
-5 < 2x +3 < 5
-5 -3 < 2x < 5 - 3
-8 < 2x < 2
-4 < x < 1
x Є (-4; 1)
2) Ix + 2I < Ix -10I. Возводим в квадрат обе части.
x^2 + 4x + 4 < x^2 - 20x + 100
4x + 20x < 100 - 4
24x < 96
x < 4
x Є (- бесконечность; 4)