Question

Докажите:
[tex](1 + \frac{1}{ \cos2 \alpha } + \tan2 \alpha )(1 - \frac{1}{ \cos2 \alpha + \tan2 \alpha } ) = 2 \tan2 \alpha
​

Answer 1

Давайте рассмотрим данное выражение по шагам.

Изначально, давайте начнем с раскрытия скобок. У нас есть выражение:

(1 + 1/ cos(2α) + tan(2α))(1 - 1/( cos(2α) + tan(2α) ))

Для удобства, давайте рассмотрим числитель и знаменатель каждой дроби отдельно.

Числитель первой дроби: 1 + 1/ cos(2α) + tan(2α)

Знаменатель первой дроби: cos(2α) + tan(2α)

Числитель второй дроби: 1

Знаменатель второй дроби: cos(2α) + tan(2α)

Затем, давайте сократим выражение и упростим его.

(1 + 1/ cos(2α) + tan(2α))(1 - 1/( cos(2α) + tan(2α) ))

= (cos(2α) + 1 + sin(2α))/( cos(2α) + tan(2α))( cos(2α) + tan(2α) - 1)

= (cos(2α) + 1 + sin(2α))/( cos(2α) + sin(2α) )

= (cos(2α) + sin(2α) + 1 )/( cos(2α) + sin(2α))

= (cos(2α) + sin(2α) )/( cos(2α) + sin(2α))

= 1

Ответ: (1 + 1/ cos(2α) + tan(2α))(1 - 1/( cos(2α) + tan(2α) )) = 1.

Это доказывает нам, что исходное утверждение равносильно выражению 2 tan(2α), т.е. (1 + 1/ cos(2α) + tan(2α))(1 - 1/( cos(2α) + tan(2α) )) = 2 tan(2α).