Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии. Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла. Острый угол — меньший 90 градусов. Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-) Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается . Угол обозначается соответствующей греческой буквой . Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов. Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе: Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу: Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу): Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач. Давайте докажем некоторые из них. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .Возьмем теорему Пифагора: .Поделим обе части на :Мы получили основное тригонометрическое тождество.Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим:Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс? Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна . Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: . Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны? С этим и столкнулись люди в составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника. Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные. Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до . Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют. Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ. 1. В треугольнике угол равен , . Найдите . Задача решается за четыре секунды. Поскольку , . 2. В треугольнике угол равен , , . Найдите . Имеем: Отсюда Найдем по теореме Пифагора. Задача решена. Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть! Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы. Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
№22.
36 мин = 0,6 ч
20 · 0,6 = 12 (км) - проехал 2-ой велосипедист, пока 1-ый был на остановке.
120 - 12 = 108 (км) - расстояние одновременного движения велосипедистов.
10 + 20 = 30 (км/ч) - скорость сближения.
108 : 30 = 3,6 (ч) - время одновременного движения велосипедистов.
3,6 + 0,6 = 4,2 (ч) - время движения 2-ого велосипедиста.
20 · 4,2 = 84 (км) - проехал 2-ой велосипедист до встречи с 1-ым.
ответ: 84 км.
График: (см. фото)
Таблица точек:
x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y 36,4 24,7 15,2 7,8 2,7 0 0 2 0 -4 0 8,2 18,7 31,1
При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком однц общую точку:
m = - 4