Question

Найди точки экстремума заданной функции и определи их характер:

y=3x−6cosx, x∈[−π/2;π].
ответ нужен в градусах​

Answer 1

Чтобы найти точки экстремума заданной функции, мы должны сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю, затем найти значения х, при которых производная равна нулю, и проверить вторую производную, чтобы определить характер экстремума.

1. Найдем производную функции y=3x−6cosx. Для этого используем правило дифференцирования для суммы функций и правило дифференцирования для произведения функций. Производная функции y по x будет равна:

y' = 3 - (-6)sinx
= 3 + 6sinx

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3 + 6sinx = 0

Вычтем 3 из обеих сторон уравнения:

6sinx = -3

Разделим обе части на 6:

sinx = -0.5

3. Теперь найдем значения х при которых sinx равен -0.5 в заданном интервале -π/2 ≤ x ≤ π. Для этого воспользуемся таблицей значений синуса:

x = -30° (соответствует -π/6)
x = -150° (соответствует -5π/6)

4. Проверим вторую производную для каждого найденного значения х, чтобы определить характер экстремума. Вторая производная от y будет равна:

y'' = 6cosx

Подставим х = -30° (соответствует -π/6):

y'' = 6cos(-π/6)
= 6*√3/2
= 3√3

Подставим х = -150° (соответствует -5π/6):

y'' = 6cos(-5π/6)
= 6*(-√3/2)
= -3√3

5. Итак, мы найдем две точки экстремума:
- одна при x = -30° (соответствует -π/6), где вторая производная равна положительному значению 3√3;
- другая при x = -150° (соответствует -5π/6), где вторая производная равна отрицательному значению -3√3.

Выводы:
- В точке x = -30° (соответствует -π/6) функция имеет локальный максимум.
- В точке x = -150° (соответствует -5π/6) функция имеет локальный минимум.