1. Преобразуйте в многочлен
а) ( у – 8)^2 ; б) ( 3с – 4) ( 3с +4 ); в) ( 6х + а^3 )^2 ; г) ( 4а^2+ 2с^4 ) ( 2с^4 – 4а^2)
2. У выражение
а) 4х(х – 7) – 3х (х + 5); б) (в + а)(в – а) – (5в^2 – а^2); в) 3(у + 9)2 – 3у^2;
г) (а +7)(а – 1) + (а – 3)^2
3. Разложите многочлен на множители
а) х^2 – 81; б) с^2 + 4ас + 4а^2; в) 9х^2 – (х – 1)^2; г) с3 – 16с; д) –3а^2 – 6ас – 3с^2;
е) а^2 – а – с^2 – с; ж) ас^4 – с^4 + ас^3– с^3 ; з) р^2 –2р + 1 – а^2
С пошаговыми действиями
1. Сначала умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2 в первом уравнении. Получим:
4x^2 - 6xy + 2y^2 = 12
2. Теперь сложим это уравнение с первым уравнением:
(x^2 + 4xy + 4y^2) + (4x^2 - 6xy + 2y^2) = 1 + 12
При этом сумма коэффициентов при одинаковых степенях x и y должна быть равна соответствующей сумме в выражении справа от знака равенства.
Таким образом, получаем:
5x^2 - 2xy + 6y^2 = 13
3. Теперь выразим одну переменную через другую для упрощения системы. Давайте решим уравнение полученной системы относительно переменной x:
5x^2 - 2xy + 6y^2 = 13
5x^2 - 2xy = 13 - 6y^2
x(5x - 2y) = 13 - 6y^2
x = (13 - 6y^2) / (5x - 2y)
4. Теперь подставим это значение x в одно из исходных уравнений. Давайте выберем первое уравнение:
x^2 + 4xy + 4y^2 = 1
((13 - 6y^2) / (5x - 2y))^2 + 4((13 - 6y^2) / (5x - 2y))y + 4y^2 = 1
Мы получили уравнение с одной переменной y, которое можем решить.
5. Решим полученное уравнение относительно переменной y. Здесь нам понадобится раскрыть квадрат в числителе:
((13 - 6y^2)^2) / ((5x - 2y)^2) + 4((13 - 6y^2) / (5x - 2y))y + 4y^2 = 1
(169 - 156y^2 + 36y^4) / ((5x - 2y)^2) + (52 - 24y^2) / (5x - 2y)y + 4y^2 = 1
Обратите внимание, что мы раскрыли квадрат для числителя с первым слагаемым и применили арифметическую операцию для осуществления произведения. Затем добавили числителя и выражение y, чтобы разбить на слагаемые.
6. Далее мы можем объединить все слагаемые вместе, чтобы получить одно уравнение:
(169 - 156y^2 + 36y^4 + 52(5x - 2y)y + 4y^2(5x - 2y)^2) / (5x - 2y)^2 = 1
7. Теперь очистим выражение от знаменателя, умножив обе части уравнения на (5x - 2y)^2 получим:
169 - 156y^2 + 36y^4 + 52(5x - 2y)y + 4y^2(5x - 2y)^2 = (5x - 2y)^2
8. Раскроем квадраты:
169 - 156y^2 + 36y^4 + 52(5x - 2y)y + 4y^2(25x^2 - 20xy + 4y^2) = 25x^2 - 20xy + 4y^2
9. Упростим уравнение и приведем подобные слагаемые:
36y^4 + 20xy^3 + 156x^2y - 228y^2 = 24x^2 - 16xy
Мы получили уравнение с полиномами, которое можем решить для значения переменной y.
10. Решим полученное уравнение относительно переменной y. Также мы можем рассмотреть его как квадратное уравнение относительно y^2:
36y^4 + 20xy^3 + 156x^2y - 228y^2 - 24x^2 + 16xy = 0
Мы имеем квадратный трехчлен относительно y^2, который можем решить.
11. Решим квадратное уравнение относительно y^2. Для этого заменим y^2 на квадрат переменной z:
36z^2 + 20xz + 156x^2z - 228z - 24x^2 + 16xy = 0
12. Затем решим полученное квадратное уравнение относительно переменной z. При этом раскроем скобки и приведем подобные члены:
36z^2 + 20xz + 156x^2z - 228z - 24x^2 + 16xy = 0
36z^2 - 228z + 20xz + 156x^2z - 24x^2 + 16xy = 0
36z^2 + (20x + 156x^2)z + (16xy - 24x^2 - 228z) = 0
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно z, которое можем решить, например, с помощью формулы дискриминанта.
13. Решим квадратное уравнение и найдем значения z.
14. После нахождения значений z, мы можем найти значения y, подставив найденные значения z в уравнение y^2 = z.
15. После нахождения значений y, мы можем найти значения x, подставив значения y и z в исходные уравнения.
Итак, шаг за шагом мы решим систему уравнений x^2 + 4xy + 4y^2 = 1 и 2x^2 - 3xy + y^2 = 6, выполнив различные математические операции и уравнения.