Для исследования на максимум и минимум функции f(x) = x/4 + 4/x нам понадобится использовать производную исходной функции.
Шаг 1: Найдите производную функции f(x).
Для этого можно воспользоваться правилом дифференцирования суммы и разности, а также правилами дифференцирования произведения и частного.
f'(x) = (1/4) - (4/x^2)
Шаг 2: Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции.
(1/4) - (4/x^2) = 0
Умножим оба выражения на 4x^2:
x^2 - 16 = 0
Факторизуем это уравнение:
(x - 4)(x + 4) = 0
Таким образом, получаем две критические точки: x = 4 и x = -4.
Шаг 3: Определите знак производной f'(x) между этими критическими точками, а также вне их, чтобы выяснить, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом.
Проверим знак производной:
1) Подставим x < -4 в f'(x) = (1/4) - (4/x^2):
Если x < -4, то x^2 > 16, что означает, что знак производной равен -(1/4). Это значит, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, -4).
2) Подставим -4 < x < 4 в f'(x) = (1/4) - (4/x^2):
Если -4 < x < 4, то x^2 > 16, что означает, что знак производной равен -(1/4). Это значит, что функция f(x) убывает на интервале (-4, 4).
3) Подставим x > 4 в f'(x) = (1/4) - (4/x^2):
Если x > 4, то x^2 > 16, что означает, что знак производной равен (1/4). Это значит, что функция f(x) возрастает на интервале (4, ∞).
Шаг 4: Определите значения функции на краях основного интервала и в найденных критических точках, чтобы определить максимумы и минимумы функции.
Для этого подставим значения x = -4, x = 4 и x = ∞ в исходную функцию f(x) = x/4 + 4/x:
1) Когда x = -4:
f(-4) = (-4)/4 + 4/(-4) = -1 + (-1) = -2
2) Когда x = 4:
f(4) = (4)/4 + 4/(4) = 1 + 1 = 2
3) Когда x стремится к ∞:
lim(x→∞) f(x) = lim(x→∞) (x/4 + 4/x) = ∞/4 + 0 = ∞
Таким образом, получаем следующую информацию об исследовании на максимум и минимум функции f(x) = x/4 + 4/x:
- Функция f(x) убывает на интервалах (-∞, -4) и (-4, 4).
- Функция f(x) возрастает на интервале (4, ∞).
- Минимальное значение функции f(x) достигается при x = -4 и равно -2.
- Максимальное значение функции f(x) достигается при x = 4 и равно 2.
- Функция не имеет абсолютного минимума или максимума, так как f(x) стремится к бесконечности при x → ∞.
Шаг 1: Найдите производную функции f(x).
Для этого можно воспользоваться правилом дифференцирования суммы и разности, а также правилами дифференцирования произведения и частного.
f'(x) = (1/4) - (4/x^2)
Шаг 2: Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции.
(1/4) - (4/x^2) = 0
Умножим оба выражения на 4x^2:
x^2 - 16 = 0
Факторизуем это уравнение:
(x - 4)(x + 4) = 0
Таким образом, получаем две критические точки: x = 4 и x = -4.
Шаг 3: Определите знак производной f'(x) между этими критическими точками, а также вне их, чтобы выяснить, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом.
Проверим знак производной:
1) Подставим x < -4 в f'(x) = (1/4) - (4/x^2):
Если x < -4, то x^2 > 16, что означает, что знак производной равен -(1/4). Это значит, что функция f(x) убывает на интервале (-∞, -4).
2) Подставим -4 < x < 4 в f'(x) = (1/4) - (4/x^2):
Если -4 < x < 4, то x^2 > 16, что означает, что знак производной равен -(1/4). Это значит, что функция f(x) убывает на интервале (-4, 4).
3) Подставим x > 4 в f'(x) = (1/4) - (4/x^2):
Если x > 4, то x^2 > 16, что означает, что знак производной равен (1/4). Это значит, что функция f(x) возрастает на интервале (4, ∞).
Шаг 4: Определите значения функции на краях основного интервала и в найденных критических точках, чтобы определить максимумы и минимумы функции.
Для этого подставим значения x = -4, x = 4 и x = ∞ в исходную функцию f(x) = x/4 + 4/x:
1) Когда x = -4:
f(-4) = (-4)/4 + 4/(-4) = -1 + (-1) = -2
2) Когда x = 4:
f(4) = (4)/4 + 4/(4) = 1 + 1 = 2
3) Когда x стремится к ∞:
lim(x→∞) f(x) = lim(x→∞) (x/4 + 4/x) = ∞/4 + 0 = ∞
Таким образом, получаем следующую информацию об исследовании на максимум и минимум функции f(x) = x/4 + 4/x:
- Функция f(x) убывает на интервалах (-∞, -4) и (-4, 4).
- Функция f(x) возрастает на интервале (4, ∞).
- Минимальное значение функции f(x) достигается при x = -4 и равно -2.
- Максимальное значение функции f(x) достигается при x = 4 и равно 2.
- Функция не имеет абсолютного минимума или максимума, так как f(x) стремится к бесконечности при x → ∞.