Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что , получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Вот наступила золотая осеньe. самая красивая и живописная пора года. осень любит желтые, красные, оранжевые краски, а как любит она осыпать все золотом. вот приходишь в березовую рощу, и не можешь отвести глаз, все в золоте. на березках вместо листочков висят золотые монетки, и, кажется, что от одного дуновения ветерка они начнут тут же звенеть. золотом осыпает осень и парки, особенно липы. идешь и радуешься такой красоте. и начинаешь понимать, почему поэты так любили воспевать осень. а иногда просто слов нет, ну невозможно описать все ту красоту, которая открывается перед тобой. гуляешь по парку и не можешь нагуляться, так не хочется оставлять эту красоту. красиво рано утром, когда хорошая погода. золотые деревья просто сияют на фоне яркого голубого неба. нельзя не восхищаться природой, нет ничего прекраснее нее. ах! как здорово, просто дух захватывает от всего этого великолепия. золотая осень не уходи, порадуй нас еще немножко. но, к сожалению, это время короткое, и вот уже через неделю, деревья начинают сбрасывать свое убранство. а как не хочется расставаться со сказкой, как хочется еще полюбоваться живописными золотыми пейзажами.
Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например,
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.