Хорошо, давайте исследуем функцию F(x) = x^2(x-2)^2 и построим ее график по шагам.
Шаг 1: Найдем область определения функции F(x). Область определения - это множество всех значений x, для которых функция определена. В данном случае, функция определена для любого значения x, так как нет ограничений на x.
Шаг 2: Найдем точки пересечения графика с осями координат. Чтобы найти точку пересечения с осью x (абсциссой), мы приравниваем F(x) к нулю и решаем уравнение:
x^2(x-2)^2 = 0
Для этого уравнения есть два возможных решения:
x^2 = 0 => x = 0
или
(x-2)^2 = 0 => x-2 = 0 => x = 2
Таким образом, у нас есть две точки пересечения с осью x: (0, 0) и (2, 0).
Шаг 3: Найдем точку экстремума функции. Точка экстремума - это точка, в которой функция достигает максимального или минимального значения. Для этого нам потребуется найти производную функции и найти значения x, при которых производная равна нулю.
F'(x) = 2x(x-2)^2 + x^2 * 2(x-2) (используем производные суммы и произведения функций)
После упрощения получаем:
F'(x) = 2x(x-2)(x-2+2x) = 2x(x-2)(3x-2)
Теперь приравниваем производную к нулю и находим значения x:
2x(x-2)(3x-2) = 0
У этого уравнения есть три возможных решения:
x = 0, x-2 = 0 (в этом случае x = 2), или 3x-2 = 0 (в этом случае x = 2/3)
Таким образом, у нас есть три возможные точки экстремума: (0, 0), (2, 0) и (2/3, F(2/3)).
Шаг 4: Изучим поведение функции на интервалах между точками пересечения и экстремумами. Для этого можно построить таблицу знаков производной на каждом из интервалов.
Выбираем тестовую точку на каждом из интервалов (например, положим x = -1, 1 и 3) и подставляем их в производную функцию F'(x). Знаки производной покажут нам, возрастает или убывает функция на данном интервале.
Интервал (-∞, 0):
F'(-1) = 2(-1)(-1-2)(3(-1)-2) = -30 (отрицательное значение)
Поэтому функция F(x) убывает на интервале (-∞, 0).
Интервал (0, 2/3):
F'(1) = 2(1)(1-2)(3(1)-2) = 4 (положительное значение)
Поэтому функция F(x) возрастает на интервале (0, 2/3).
Интервал (2/3, 2):
F'(3) = 2(3)(3-2)(3(3)-2) = 40 (положительное значение)
Поэтому функция F(x) возрастает на интервале (2/3, 2).
Интервал (2, +∞):
F'(3) = 2(3)(3-2)(3(3)-2) = 40 (положительное значение)
Поэтому функция F(x) возрастает на интервале (2, +∞).
Шаг 5: Построим график функции F(x) на основе полученных результатов.
На графике укажем ось x и ось y. Точки пересечения с осями x: (0, 0) и (2, 0). Точка экстремума: (2/3, F(2/3)).
Зная поведение функции на интервалах, можно примерно представить, как будет выглядеть график функции F(x). Мы видим, что функция F(x) убывает на интервале (-∞, 0), затем возрастает на интервале (0, 2/3), снова возрастает на интервале (2/3, 2), и, наконец, возрастает на интервале (2, +∞).
График функции F(x) должен выглядеть как "W" с осями симметрии на x = 0 и x = 2.
Шаг 1: Найдем область определения функции F(x). Область определения - это множество всех значений x, для которых функция определена. В данном случае, функция определена для любого значения x, так как нет ограничений на x.
Шаг 2: Найдем точки пересечения графика с осями координат. Чтобы найти точку пересечения с осью x (абсциссой), мы приравниваем F(x) к нулю и решаем уравнение:
x^2(x-2)^2 = 0
Для этого уравнения есть два возможных решения:
x^2 = 0 => x = 0
или
(x-2)^2 = 0 => x-2 = 0 => x = 2
Таким образом, у нас есть две точки пересечения с осью x: (0, 0) и (2, 0).
Шаг 3: Найдем точку экстремума функции. Точка экстремума - это точка, в которой функция достигает максимального или минимального значения. Для этого нам потребуется найти производную функции и найти значения x, при которых производная равна нулю.
F'(x) = 2x(x-2)^2 + x^2 * 2(x-2) (используем производные суммы и произведения функций)
После упрощения получаем:
F'(x) = 2x(x-2)(x-2+2x) = 2x(x-2)(3x-2)
Теперь приравниваем производную к нулю и находим значения x:
2x(x-2)(3x-2) = 0
У этого уравнения есть три возможных решения:
x = 0, x-2 = 0 (в этом случае x = 2), или 3x-2 = 0 (в этом случае x = 2/3)
Таким образом, у нас есть три возможные точки экстремума: (0, 0), (2, 0) и (2/3, F(2/3)).
Шаг 4: Изучим поведение функции на интервалах между точками пересечения и экстремумами. Для этого можно построить таблицу знаков производной на каждом из интервалов.
Выбираем тестовую точку на каждом из интервалов (например, положим x = -1, 1 и 3) и подставляем их в производную функцию F'(x). Знаки производной покажут нам, возрастает или убывает функция на данном интервале.
Интервал (-∞, 0):
F'(-1) = 2(-1)(-1-2)(3(-1)-2) = -30 (отрицательное значение)
Поэтому функция F(x) убывает на интервале (-∞, 0).
Интервал (0, 2/3):
F'(1) = 2(1)(1-2)(3(1)-2) = 4 (положительное значение)
Поэтому функция F(x) возрастает на интервале (0, 2/3).
Интервал (2/3, 2):
F'(3) = 2(3)(3-2)(3(3)-2) = 40 (положительное значение)
Поэтому функция F(x) возрастает на интервале (2/3, 2).
Интервал (2, +∞):
F'(3) = 2(3)(3-2)(3(3)-2) = 40 (положительное значение)
Поэтому функция F(x) возрастает на интервале (2, +∞).
Шаг 5: Построим график функции F(x) на основе полученных результатов.
На графике укажем ось x и ось y. Точки пересечения с осями x: (0, 0) и (2, 0). Точка экстремума: (2/3, F(2/3)).
Зная поведение функции на интервалах, можно примерно представить, как будет выглядеть график функции F(x). Мы видим, что функция F(x) убывает на интервале (-∞, 0), затем возрастает на интервале (0, 2/3), снова возрастает на интервале (2/3, 2), и, наконец, возрастает на интервале (2, +∞).
График функции F(x) должен выглядеть как "W" с осями симметрии на x = 0 и x = 2.