График параболы (веточками вверх ) у = х² - 7х + 12 пересекает ось абсцисс в точках х = 3 и х = 4, следовательно, у ≥ 0 на двух промежутках: при х ≤ 3 и х ≥ 4.
Числа вида 4n, 4n+1 и 4n+3 представимы в виде разности квадратов: 4n=(n+1)²-(n-1)²; 4n+1=(2n+1)²-(2n)²; 4n+3=(2n+2)²-(2n+1)².
Числа вида 4n+2 не представимы в виде разности квадратов, т.к. иначе 4n+2=a²-b²=(a-b)(a+b). Если а и b имеют разную четность, то а-b и a+b - нечетные числа, и значит (a-b)(a+b) нечетно. Если а и b имеют одинаковую четность, то а-b и a+b - оба четные, и значит (a-b)(a+b) делится на 4. Но число 4n+2 - не является нечетным и не делится на 4. Значит, оно не может быть равно a²-b² ни при каких а и b.
Таким образом, все натуральные числа не представимые в виде разности квадратов имеют вид 4n+2, где n=0,1,2, Так как первое такое число (равное 2) будет при n=0, то трехтысячное число будет при n=2999, т.е. равно 4*2999+2=11998.
х ∈ (-∞; 3] ∪ [4; +∞)
Объяснение:
9x² - 19x + 37 ≤ 10x² - 26x + 49
0 ≤ 10х² - 9х² - 26х + 19х + 49 - 37
х² - 7х + 12 ≥ 0
Решим уравнение
х² - 7х + 12 = 0
D = 7² - 48 = 1
x₁ = 0.5(7 - 1) = 3
x₂ = 0.5 (7 + 1) = 4
График параболы (веточками вверх ) у = х² - 7х + 12 пересекает ось абсцисс в точках х = 3 и х = 4, следовательно, у ≥ 0 на двух промежутках: при х ≤ 3 и х ≥ 4.
Решение неравенства х ∈ (-∞; 3] ∪ [4; +∞)