Поверхность рулетки разбили на секторы следующим образом: сектор 1 занимает половину площади круга, вторая половина разделена на 3 равные части – секторы 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что после раскручивания стрелка остановится на секторе 3?
Чтобы решить эту задачу, мы должны понять, какое отношение занимает площадь сектора 3 к общей площади рулетки.
Для начала рассмотрим площадь сектора 1, который занимает половину площади круга. Так как зная длину его дуги, мы можем вычислить площадь по формуле: площадь сектора 1 = (длина дуги сектора 1 / длина окружности) * площадь круга.
Предположим, что радиус рулетки равен r. Тогда длина окружности равна 2πr, и длина дуги сектора 1 составит πr (так как сектор 1 занимает половину площади круга).
Подставив эти значения в формулу, получим:
площадь сектора 1 = (πr / 2πr) * πr = (1/2) * πr^2.
Теперь рассмотрим площадь оставшейся части рулетки, которая поделена на 3 равные части - секторы 2, 3 и 4. В сумме они занимают вторую половину площади круга.
Так как секторы 2, 3 и 4 равны между собой, каждый из них занимает (1/6) * площадь второй половины круга.
Таким образом, площадь сектора 2 (3 и 4) составит (1/6) * (1/2) * πr^2 = (1/12) * πr^2.
Итак, мы уже знаем, что площадь сектора 1 составляет (1/2) * πr^2, а площадь секторов 2, 3 и 4 - (1/12) * πr^2 каждый.
Теперь мы можем посчитать вероятность того, что после раскручивания рулетки стрелка остановится на секторе 3. Вероятность определяется как отношение площади сектора 3 к общей площади рулетки.
Общая площадь рулетки составляет площадь сектора 1 + площадь секторов 2, 3 и 4:
Для начала рассмотрим площадь сектора 1, который занимает половину площади круга. Так как зная длину его дуги, мы можем вычислить площадь по формуле: площадь сектора 1 = (длина дуги сектора 1 / длина окружности) * площадь круга.
Предположим, что радиус рулетки равен r. Тогда длина окружности равна 2πr, и длина дуги сектора 1 составит πr (так как сектор 1 занимает половину площади круга).
Подставив эти значения в формулу, получим:
площадь сектора 1 = (πr / 2πr) * πr = (1/2) * πr^2.
Теперь рассмотрим площадь оставшейся части рулетки, которая поделена на 3 равные части - секторы 2, 3 и 4. В сумме они занимают вторую половину площади круга.
Так как секторы 2, 3 и 4 равны между собой, каждый из них занимает (1/6) * площадь второй половины круга.
Таким образом, площадь сектора 2 (3 и 4) составит (1/6) * (1/2) * πr^2 = (1/12) * πr^2.
Итак, мы уже знаем, что площадь сектора 1 составляет (1/2) * πr^2, а площадь секторов 2, 3 и 4 - (1/12) * πr^2 каждый.
Теперь мы можем посчитать вероятность того, что после раскручивания рулетки стрелка остановится на секторе 3. Вероятность определяется как отношение площади сектора 3 к общей площади рулетки.
Общая площадь рулетки составляет площадь сектора 1 + площадь секторов 2, 3 и 4:
Общая площадь = (1/2) * πr^2 + (1/12) * πr^2 + (1/12) * πr^2 + (1/12) * πr^2 = (7/12) * πr^2.
Теперь мы можем вычислить вероятность попадания на сектор 3:
Вероятность = (площадь сектора 3) / (общая площадь) = [(1/12) * πr^2] / [(7/12) * πr^2] = (1/7).
Таким образом, вероятность того, что после раскручивания рулетки стрелка остановится на секторе 3, составляет 1/7.