В коробці лежать 24 білі, сині та зелені ялинкові прикраси-кульки. Скільки потрібно туди ще покласти червоних куль щоб імовірніть вибрати навмання червону кулю з усіх прикрас становила 3\7?
Пусть в стелаже n полок. Задачу будем решать при формул арифметической прогрессии. аn = a1 +(n -1)d Sn = n(a1 +an)/2
an - это в нашем случае число книг на последней полке, а1 - соответственно число книг на первой полке (21 книга). Sn - сумма книг с 1 по n, т.е. всего книг.
При 1 случае расстановки d = 5, т.к. на каждой полке книг прибавляется на 5 n - полок а1 =21 аn = 21 + (n - 1)*5 - книг на последней полке Sn1 = n(a1 +an)/2 = n(21 + 21 + (n - 1)*5) = n(42 + 5n -5) = n(5n +37) = 5n² + 37n
При 2 случае расстановки d = 6, т.к. на каждой полке книг прибавляется на 6 (n -1) - полок, т.к. полок на 1 меньше а1 =21 аn = 21 + ((n -1)- 1)*6 - книг на последней полке Sn2 = (n-1)(21 + 21 + (n -1 - 1)*6) = (n - 1)(42 + 6n -12) = (n-1)(6n +30) = 6n² + 30n -6n -30 = 6n² + 24n -30
Т.к. кол-во книг одинаково, то приравняем S1=S2 5n² + 37n = 6n² + 24n -30 n² - 13n -30 =0 Д = 169 +120 = 289 √Д = 17 n =(13 + 17)/2 = 15 ответ: в стелаже 15 полок.
Решите уравнение методом разложения на множители
1) √x⁵-3√x³-18√x= 0 ОДЗ : x≥0
x²√x -3x√x -18√x =0⇔ √x(x² -3x -18) =0 ⇔x(x -6)(x+3) =0
x =0 ; x =6 ; x = - 3 ∉ ОДЗ →посторонний корень.
2) ⁴√х⁹-2⁴√х⁵-15⁴√х=0 ОДЗ : x≥0
x²(⁴√х -2x⁴√х-15⁴√х) =0 ⇔ - 16⁴√х *x² =0 ⇒ x =0
Решите уравнение методом введения новой переменной
3) √(x²+1 - 2x )- 6√(x-1) = 7
√(x - 1 )² - 6√(x-1) = 7 ; замена : t =√(x-1) ≥ 0
t² -6t -7 = 0 ⇒ по Виету t₁ = 7 ; t₂= - 1 →посторонний
или t₁/₂ = 3 ± 4 * * * √D₁ = √(3² -(-7) ) =√(9+7) =√16 =4; D₁ =D/4 * * *
√(x-1) =7 ⇔x- 1 =7² ⇒ x= 50 .
* * *ИЛИ t² -6t -7 =0 t² -7t +t -7 =0 ⇔t(t -7) +(t -7) =0⇔(t -7)(t+ 1) =0 * * *
4) √(x²-4x+4) - 6=5√(2 -x)
√(2-x)² - 6 = 5√(2 -x) замена : t =√(2-x) ≥ 0
t² -5t -6 =0 ⇒ по Виету t₁ = 6 ; t₂= - 1 →посторонний
√(2 -x) =6 ⇔2 - x =6²⇒ x = 2 -36 = -34 .
Решите уравнение, используя функционально-графические методы
5) 2ˣ = 6-x
у₁ =2ˣ → (возрастающая показательная функция: 2 >1 ) ;
{ ...(- 2 ; 1/4) , (- 1 ; 1/2) , (0 ; 1) , (1; 2) , (2 ; 4) ; ...} ∈ графику
y₂ = - x +6 → ( ||y = kx+b || убывающая линейная функция: k = - 1 < 0 ).
{ (0 ;6) , (6 ; 0) . || (2 ; 4) } ∈ графику y₂
* * * графики постройте самостоятельно * * *
Пересечением графиков функций у₁ и y₂ получается ответ
x = 2 .
6) (1/3)ˣ= x + 4
у₁ = (1/3)ˣ → (убывающая показательная функция: 0<1/3<1)
{ ... (- 2 ; 9 ) , (-1; 3) , (0 ; 1) ; (1; 1/3) , (2 ; 1/9) ; ...} ∈ графику
у₂ = x + 4→ ( возрастающая линейная функция : k = 1 > 0)
{ ( - 4 ; 0) ; (0; 4) . || (-1 ; 3) }
x = -1 .