Возводим в квадрат обе части уравнения: ОДЗ: 3х+1≥0 x≥-1/3 x+3≥0 x>-3 3x+1+x+3+2*√((3x+1)(x+3))=18-2x 18-2x≥0 x≤9. x∈[-1/3;9] 4x+4+2*√(3x²+10x+3)=18-2x I2 √(3x²+10x+3)=7-3x Возводим в квадрат обе части уравнения: 3x²+10x+3=9x²-42x+49 6x²-52x+46=0 3x²-26x+23=0 D=1600 x=1 x=7,667 Проверяем корни уравнения: x=1 √(3*1+1)+√(1+3) ? √(18-2*1) √4+√4 ? √16 4≡4 то есть х=1 является корнем этого уравнения. x=7,667 √(3*7,667+1)+√(7,667+3) ? √(18-2*7,667) √24+√10.667 ? √2,67 4,9+3,27 ? 2,67 8,17≠2,67, то есть корень х=7,667 лишний, вероятно из-за двойного возведения в квадрат обеих частей уравнения. ответ: х=1.
(lgx-1)(x-2)(x+0,5)<0
lgx=1 x₃=10
Три точки разделяют действительную ось на интервалы:
x∈(-∞;-0,5)∧(-0,5;2)∨(2;10)∨(10;;+∞).Учитывая ОДЗ x∈(0;2)∨(2;10)∨(10;+∞).
Обозначаем знаки множителей на найденных интервалах.Знаки устанавливаем простой подстановкой точек из интервала:
x∈(0;2) - - + (+), x∉, (при х>0 (x+0,5)>0).
x∈(2;10) - + + (-) x∈ lgx-1<0 lgx<1 x₁<10 x-2>0 x₂>2 x+0m5>0 x>-0,5 x₃∈(2;10).
x∈(10;+∞) + + + (+) x∉.
ответ: х∈(2;10).