Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
x∈(0, 10), интервал решений системы неравенств.
Объяснение:
Решить систему неравенств:
6x(x-1)-3x(2x-1)<x
0,5x-3,7<0,2x-0,7
Первое неравенство:
6x(x-1)-3x(2x-1)<x
6х²-6х-6х²+3х<x
-3x-x<0
-4x<0
4x>0 знак меняется
x>0
x∈(0, +∞) интервал решений первого неравенства при х от 0 до + бесконечности.
Неравенство строгое, скобки круглые.
Второе неравенство:
0,5x-3,7<0,2x-0,7
0,5х-0,2х< -0,7+3,7
0,3x<3
x<10
x∈(-∞, 10) интервал решений второго неравенства при х от - бесконечности до 10.
Неравенство строгое, скобки круглые.
Теперь нужно на числовой оси отметить оба интервала, чтобы найти пересечение, то есть, такое решение, которое подходит двум данным неравенствам.
Пересечение x∈(0, 10), интервал решений системы неравенств.