Question

Точка m0(1; 2) - центр квадрата, x+2y+2=0 и 2x-y-6+0 уравнения его сторон. найти уравнения двух других сторон.

Answer 1

Нормальные векторы заданных сторон квадрата равны 
  $n_{1}=(1,2)\; ,\; \; n_2=(2,-1)$  .
 Их скалярное произведение = 0, поэтому это перпендикулярные стороны. Допустим, что это АВ и АД.
  $AB:\; \; x+2y+2=0\; \; ,\; \; AD:\; \; 2x-y-6=0$
Найдём точку пересечения этих сторон, точку А.

$\left \{ {{2x-y=6} \atop {x+2y=-2}} \right. \; \; \left \{ {{y=2x-6} \atop {2x=10}} \right. \; \; \left \{ {{y=-2} \atop {x=2}} \right. \; \; \; A(2,-2)$

Найдём координаты точки С, лежащей на диагонали АС, учитывая , что точка М(1,2) - середина АС:

$1=\frac{2+x_{C}}{2}\; ,\; \; x_{C}=0\; \; ;\; \; \; \; 2=\frac{-2+y_{C}}{2}\; \; ,\; \; \; \; y_{C} =6\; \; ;\; \; \; C(0,6)$

Уравнение стороны СД найдём, учитывая, что СД проходит через точку С и имеет нормальный вектор , равный направляющему вектору АД.

$\vec{n}_{CD}=\vec{s}_{AD}=(2,-1)\\\\CD:\; \; 2\cdot (x-0)-1\cdot (y-6)=0\\\\\underline {CD:\; \; 2x-y+6=0}$

Нормальный вектор ВС равен направляющему вектору АВ. Сторона ВС проходит через точку С.

$\vec{n}_{BC}=\vec{s}_{AB}=(1,2)\\\\BC:\; \; 1\cdot (x-0)+2\cdot (y-6)=0\\\\\underline {BC:\; \; x+2y-12=0}$