tg20°*tg40°*tg60°*tg80°=
=tg20°*(tg60-20°)*tg60°*tg(60°+20°)=
= [tg20°*tg(60°-20°)tg(60°+20°)]*tg60°=
=[tg20°*((sin60°-20°)*sin(60°+20°)/(cos(60°-20°)cos(60°+20°))]*√3 =
=[tg20°*(√3/2 *cos20° -1/2 * sin20°)(√3/2 *cos20° +1/2 * sin20°) :
(1/2*cos20°+√3/2 *sin20°)(1/2*cos20°-√3/2 *sin20°)]*√3 =
=[tg20°*(3/4*cos²20°-1/4sin²20°)/(1/4*cos20°-3/4sin20°)]*√3 =
=[(sin20°/cos20°)*(3cos²20°-sin²20°)/(cos²20°-3sin²20°)]*√3=
=[(3cos²20°*sin20°-sin³20°)/(cos³20°-3sin²20°cos20°)]*√3=
=(sin3*20°)/cos(3*20°)*√3= (sin60°)/(cos60°)*√3 = tg60°*√3 =√3*√3=3
tg20°*tg40°*tg60°*tg80°=
=tg20°*(tg60-20°)*tg60°*tg(60°+20°)=
= [tg20°*tg(60°-20°)tg(60°+20°)]*tg60°=
=[tg20°*((sin60°-20°)*sin(60°+20°)/(cos(60°-20°)cos(60°+20°))]*√3 =
=[tg20°*(√3/2 *cos20° -1/2 * sin20°)(√3/2 *cos20° +1/2 * sin20°) :
(1/2*cos20°+√3/2 *sin20°)(1/2*cos20°-√3/2 *sin20°)]*√3 =
=[tg20°*(3/4*cos²20°-1/4sin²20°)/(1/4*cos20°-3/4sin20°)]*√3 =
=[(sin20°/cos20°)*(3cos²20°-sin²20°)/(cos²20°-3sin²20°)]*√3=
=[(3cos²20°*sin20°-sin³20°)/(cos³20°-3sin²20°cos20°)]*√3=
=(sin3*20°)/cos(3*20°)*√3= (sin60°)/(cos60°)*√3 = tg60°*√3 =√3*√3=3
Будем считать, что надо найти корни заданного кубического выражения.
y=x^3-9,5x^2+26x-17,5 = 0.
Один корень явно виден - это х = 1.
Разделим многочлен на (х - 1):
x^3 - 9,5x^2 + 26x - 17,5 |x - 1
x^3 - x^2 x^2 - 8,5x + 17,5
-8,5x^2 + 26x
-8,5x^2 + 8,5x
-17,5x - 17,5
-17,5x - 17,5
0
Полученный квадратный трёхчлен разложим на множители, найдя его корни.
Решаем уравнение x^2 - 8,5*x + 17,5=0.
Ищем дискриминант:
D=(-8.5)^2-4*1*17.5=72.25-4*17.5=72.25-70=2.25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(-(√2,25-8,5))/(2*1)=(1,5-(-8,5))/2=(1,5+8,5)/2=10/2=5;
x_2=(-√2,25-(-8,5))/(2*1)=(-1,5-(-8,5))/2=(-1,5+8,5)/2=7/2=3,5.
ответ: имеем три корня х = 1, х = 3,5 и х = 5.