Найдите промежутки монотонности функции: у = ( х² + 1 ) / х
x ∈ ( -∞ ; -1 ] и x ∈ [ 1 ; ∞ )_функция монотонно возрастает (↑) ;
x ∈ [-1 ; 0) и x ∈ (0 ; 1 ] _функция монотонно убивает (↓ ) .
Объяснение: у =( х² + 1 ) / х D(y) : x∈ R \ { 0}
( u(x) /v(x) ) ' = ( u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x) ) / v²(x)
у '=( ( х² + 1 ) / х ) ' = ( (x²+1) ' *(x) -(x²+1)*(x)' )/x² =( (2x+0) *x -(x²+1)*1 ) /x²
(2x*x - x²-1 )/x² = (x² -1) /x² = (x+1)(x-1) /x²
Функция монотонно возрастает ,если y ' ≥ 0 ;
Функция монотонно убивает ,если y ' ≥ 0 ;
знаки y ' + + + + + + + + +[ -1] - - - 0 - - - [ 1] + + + + + + +
интервалы монотон. ↑ ↓ ↑
x ∈ ( -∞ ; -1 ] и x ∈ [ 1 ; ∞ )_функция монотонно возрастает (↑) ;
x ∈ [-1 ; 0) и x ∈ (0 ; 1 ] _функция монотонно убивает (↓ ) .
1) 3x² = 0 ⇒ х = 0
2) 9x² = 81 ⇒ х² = 9 ⇒ х₁= -3 и х₂ = 3
3) x² - 27 = 0 ⇒ х² = 27 ⇒ х = ⁺₋ √27 ⇒ х = ⁺₋ 3√3
4) 0.01x² = 4 ⇒ х² = 400 ⇒ х₁= -20 и х₂ = 20
2. Решить уравнения
1) x² + 5x = 0
х(х + 5) = 0
х₁ = 0 или х₂ = -5
2) 4x² = 0.16x
4x² - 0.16x = 0
4х (х - 0,04) = 0
х₁ = 0 или х₂ = 0,04
3) 9x² + 1 = 0
9x² = - 1 - НЕТ решения (корень из отрицательного числа НЕ существует)
3. Решить уравнения
1) 4x² - 169 = 0
4x² = 169
х² =
х₁ = -6,5 или х₂ = 6,5
2) 25 - 16x² = 0
16х² = 25
х₁ = -1,25 или х₂ = 1,25
3) 2x² - 16 = 0
2х² = 16
х² = 8
х₁ = -2√2 или х₂ = 2√2
4) 3x² = 15
х² = 5
х₁ = -√5 или х₂ = √5
5) 2x² =
х² =
х₁ = -0,25 или х₂ = 0,25
6) 3x² =
3х² =
х² =
х₁ = -1