Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции нужно найти ее производную и решить неравенство.
Для нашей функции производная будет:
y' = 6x^2 + 12x
Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, нужно найти корни производной (то есть значения x, при которых y' = 0) и проверить знак производной в интервалах между корнями.
Решим уравнение 6x^2 + 12x = 0:
6x(x + 2) = 0
Из этого уравнения получаем два корня: x = 0 и x = -2.
Проверим знак производной в промежутках перед первым корнем, между корнями и после второго корня, используя тестирование знака.
Примерно, если мы возьмем x = -3 (любое значение меньше -2), то получим:
y' = 6(-3)^2 + 12(-3) = 54 - 36 = 18
То есть производная положительна (-3) в интервале (-бесконечность, -2).
Дальше, если возьмем x = -1 (любое значение между -2 и 0), то получим:
y' = 6(-1)^2 + 12(-1) = 6 - 12 = -6
То есть производная отрицательна (-6) в интервале (-2, 0).
И если возьмем x = 1 (любое значение больше 0), то получим:
y' = 6(1)^2 + 12(1) = 6 + 12 = 18
То есть производная снова положительна (18) в интервале (0, +бесконечность).
Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции снова найдем производную и решим неравенство.
Производная данной функции:
y' = 3x^2 - 16x
Решим уравнение 3x^2 - 16x = 0:
x(3x - 16) = 0
Отсюда получаем два корня: x = 0 и x = 16/3.
Проверим знак производной в интервалах между корнями и за пределами корней, используя тестирование знака.
Если x = -1 (любое значение меньше 0), то получаем:
y' = 3(-1)^2 - 16(-1) = 3 + 16 = 19
То есть производная положительна (19) в интервале (-бесконечность, 0).
Если x = 5/2 (любое значение между 0 и 16/3), то получаем:
y' = 3(5/2)^2 - 16(5/2) = 75/4 - 40 = 35/4
То есть производная положительна (35/4) в интервале (0, 16/3).
Если x = 3 (любое значение больше 16/3), то получаем:
y' = 3(3)^2 - 16(3) = 27 - 48 = -21
То есть производная отрицательна (-21) в интервале (16/3, +бесконечность).
Объяснение:
у=х²+4х-2
Это парабола ,ветви вверх. Координаты вершины
а)х₀=-в/2а, х₀=(-4)/2=-2 , у₀=(-2)²+4*(-2)-2=-6 , (-2; -6).
б) во всех четвертях.
с) х=-2
d)Точки пересечения с осью ох, т.е у=0
х²+4х-2=0
Д=в²-4ас, Д=4²-4*4*(-2)=16+32=48=16*3
х₁=(-в+√Д):2а , х₁=(-4+4√3):2 , х₁=2(-2+2√3):2 , х₁=-2+2√3, (-2+2√3;0)
х₂=(-в-√Д):2а , х₂=(-4-4√3):2 , х₂=2(-2-2√3):2 , х₂=-2-2√3 , (-2-2√3;0)
Точки пересечения с осью оу, т.е. х=0, у=-2 (0;-2)
Доп.точки у=х²+4х-2 :
х: -5 -4 -3 1
у: 3 -2 -5 3
2)у=-х²-2х+6 Это парабола ,ветви вниз.
а)f(2)=-(2)²-2*2+6=-4-4+6=-2,
f(-2)=-(-2)²-2*(-2)+6=-4+4+6=6,
б) точка (-3;к) принадлежит графику функции, значит ее координаты удовлетворяют уравнению у=-х²-2х+6.
к=-(-3)²-2*(-3)+6 , к=-9+6+6 , к=3