1)Определение. Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции.
2)Если F1 и F2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое. ... Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак, F1 – F2 = С. Таким образом, все первообразные для функции f получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной.
3)совокупность первообразных функции и называется непределенным интегралом от функции . Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от и обозначается символическим выражением , которое читается "интеграл от эф от икс по дэ икс".
4) Знак интеграла (∫) используется для обозначения интеграла в математике.
5)Множество всех первообразных F(x)+C функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается . Символ называется интегралом, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, x называется переменной интегрирования.
6)Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.
7)Если – одна из первообразных некоторой функции , то совокупность всех первообразных этой функции можно представить в виде , где C – произвольная постоянная. Функция, имеющая первообразную в некотором промежутке, называется интегрируемой, а процедуру нахождения первообразной называют интегрированием этой функции.
8)Неопределенный интеграл его свойства. ... Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как ∫f(x)dx. Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение ∫f(x)dx=F(x)+C, где C - произвольная постоянная.
9)Метод интегрирования, при котором интеграл с тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
10)Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции[⇨].
11)Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления. Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x).
12)Криволинейная трапеция – плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции у = f(x), определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми х = а, х = b – см. рис.
1) а) (x+4)'2
x'2+2x×4+4'2
x'2+8x+16
б) (3b-c)'2
(3b)'2-2×3bc+c'2
9b'2-6bc+c'2
в) (2y+5)(2y-5)
(2y)'2-5'2
4y'2-25
г) (y'2-x)(y'2+x)
(y'2)'2-x'2
y'4-x'2
2) a) 1/9-a'2
1/9×(1-9a'2)
1/9×(1-3a)×(1+3a)
б) b'2+10b+25
b'2+2×b×5+5'2
(b+5)'2
4) a) 3(1+2xy)(1-2xy)
3(1-4x'2y'2)
3-12x'2y'2
б) (x'2+y'3)'3
(x'2)'2+2x'2y'3+(y'3)'2
x'4+2x'2y'3+y'6
в) (a+b)'2-(a-b)'2
2b×2a
4ab
5) а) (4x-3)(4x+3)-(4x-1)'2=3x
16x'2-9-(16x'2-8x+1)=3x
16x'2-9-16x'2+8x-1=3x
-10+8x=3x
8x-3x=10
5x=10
x=2
б) 16c'2-49=0
16c'2=49
c'2=49/16
c=+_7/4
c=7/4
c,1=-7/4,c,2=7/4