Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения и множество значений .
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x
Арксинус иногда обозначают так:
.
График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.
Арккосинус, arccosАрккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения и множество значений .
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x
Арккосинус иногда обозначают так:
.
График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.
ЧетностьФункция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x
Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x
Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.
y = arcsin xy = arccos xОбласть определения– 1 ≤ x ≤ 1– 1 ≤ x ≤ 1Область значений Возрастание, убываниемонотонно возрастаетмонотонно убываетМаксимумы Минимумы Нули, y = 0x = 0x = 1Точки пересечения с осью ординат, x = 0y = 0y = π/2Таблица арксинусов и арккосинусовВ данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >
Производные высших порядков:
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >
Делаем подстановку x = sin t и интегрируем по частям:
.
Выразим арккосинус через арксинус:
.
При |x| < 1 имеет место следующее разложение:
;
.
Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .
2)/5х-2*(-4+4х)=11 /5х+8-8х=11 /-3х=11-8 /-3х=3 /х=3:(-3) /х=-1
/у=-4+4х /у=-4+4х /у=-4+4х /у=-4+4х /у=-4+4х /у=-4+4*(-1)
/х=-1
/у=-8
3)а)2а4в3-2а3в4+6а2в2=2а2в2*(а2в-ав2+3)
4) v t s
Из А 2 км/ч 3 ч 6 км
Из В (х-2) км/ч 2 ч 2(х-2) км
Собст.ск.-х км/ч
Ск.теч.-2 км/ч
Составим и решим ур-е:
6+2(х-2)=30
6+2х-4=30
2х=30-6+4
2х=28
х=14(км/ч)-собственная скорость лодки