Question

Материальная точка движется прямолинейно со скоростью корень 3 степени 1+t. Найдите путь, пройденный материальной точкой в первые 7 секунд. Найдите ускорение точки при t=7 секунд.

Answer 1

11.25 м, 1/12 м/с²

Объяснение:

Известно, что скорость - производная от пути, поэтому путь - это интеграл от скорости. Пусть s(t) - функция пути. Тогда

$s(t)=\int{v(t)dt}=\int{\sqrt[3]{1+t}dt}\\$.

Пусть u = 1+t, тогда du = dt.

$\int{\sqrt[3]{1+t}}\,dt=\int{\sqrt[3]{u}}\,du=\int{u^\frac{1}{3}}\,du=\frac{u^{1/3\,\,\,+\,\,\,1}}{1/3\,\,\,+\,\,\,1}+C=\frac{u^{4/3}}{4/3}+C=\frac{3}{4}u^{4/3}=\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4}+C$

Подставим обратно u=1+t

$\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4}+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{(1+t)^4}+C=s(t)$

Также, поскольку

$s(0)=\frac{3}{4}\sqrt[3]{(0+1)^4}+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{1}+C=\frac{3}{4}+C=0$

то С=-3/4 (потому что s(0) должно равнятся 0).

По этому

$s(t)=\frac{3}{4}\sqrt[3]{(1+t)^4}-\frac{3}{4}$.

Ну вот! Теперь у нас есть функция пути. По этому чтобы нати путь который преодолела точка за первые 7 секунд, мы просто находим

s(7).

$s(t)=\frac{3}{4}\sqrt[3]{(1+7)^4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\sqrt[3]{8^4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(16)-\frac{3}{4}=12-\frac{3}{4}=11\frac{1}{4}=11.25$

То есть ответ: 11,25 м.

Дальше, чтобы найти ускорение точки при t=7, возьмем производную от v(t) и подставим t=7.

$v'(t)=\frac{d}{dt}(\sqrt[3]{1+t})=\frac{d}{dt}((1+t)^\frac{1}{3})=(\frac{1}{3}(1+t)^{-\frac{2}{3}})(\frac{d}{dt}(1+t))=\frac{1}{3}(1+t)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3(1+t)^{2/3}}$

Теперь найдем v'(7)

$v'(t)=\frac{1}{3(1+7)^{2/3}}=\frac{1}{3*{8^{2/3}}}=\frac{1}{3*4}=\frac{1}{12}$

То есть ответ: 1/12 м/с².