1. Уравнение можно решить так же, как это сделал(а) Agnesmile02464, но можно ещё сделать через дискриминант.
x^2 - 6x - 7 = 0
D = b^2 - 4ac;
D = -6^2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64
x = (-b +- )/2a
x1 = (6 + )/2 * 1 = (6 + 8)/2 = 14/2 = 7
x2 = (6 - )/2 * 1 = (6 - 8)/2 = -2/2 = -1
2. Для решения этого задания есть специальная формула, но я её благополучно забыл.) Попробую решить через систему. Для решения этого задания нам понадобится всеми любимая формула y=kx + b. Нужно взять две любые точки, через которые проходит прямая, и подставить. Получаем:
(-1;3) и (1;-3)
Подставляем в формулу, получаем систему:
{3 = -k + b
{-3 = k + b
Перенесем значения, чтобы были легче:
{k - b = -3
{-k - b = 3
Нам нужно найти k и b. Отнимем эти уравнения, чтобы избавиться от b и, для начала, найти k:
k - b - (-k) - (-b) = -3 - 3
k - b + k + b = -6
2k = -6
k = -3
Подставим в саааамое первое уравнение:
3 = - (-3) + b
3 = 3 + b
-b = 3 - 3
b = 0
k = -3, b = 0. Подставляем значения в y = kx + b и получаем функцию:
y = -3x
ответ 1)
Объяснение: Если что-то непонятно - не стесняйся и спрашивай ;)
Задание 1.
Выберем в стандартный базис (то есть векторы
и
). В
выбираем тоже стандартный базис. Образы базисных векторов:
. Здесь уже есть два линейно независимых вектора:
и
, а потому
(а базис приведен чуть выше). Теперь ясно какая размерность ядра:
. Элементы ядра должны удовлетворять системе
. Уже отсюда можно было понять, что размерность ядра равна двум: четыре переменные и два уравнения, ограничивающие их. Тогда положив
, получим, например, решение
, а для
подойдет
. Итого два вектора:
. Линейная независимость этих векторов гарантирует, что они являются базисом ядра.
Задание 2.
Чтобы показать, что является базисом в
достаточно показать, что она линейно независима (достаточно, поскольку вектора два, а размерность
равна двум). В нашем случае система состоит из одного вектора
и потому не может быть базисом в
. Часть 2 решить все-таки не могу, поскольку
-- не базис.
Задание 3.
(A)
,
,
.
(B)
Поскольку размерность равна трем, то для того чтобы показать, что
-- базис, достаточно показать, что они линейно независимы. Это легко видеть хотя бы потому, что ранг матрицы
равен трем (поскольку ее определитель, равный
, ненулевой).
Задание 4.
В нашем случае имеем систему . Количество решений зависит от размерности пространства, которое задает данная система. По сути, можно рассматривать отображение
такое, что
. Тогда система задает ядро этого отображения, размерность которого в новой интерпретации ищется просто -- точно так же, как мы делали это в первой задаче. Образы базисных векторов:
дальше считать не стал, поскольку уже первые два вектора линейно независимы. Значит, размерность образа равна двум, но тогда ядро имеет размерность
. Следовательно, ядро как множество бесконечно (было бы конечным только в случае нульмерного ядра). То есть имеем две свободные переменные. Например, систему можно свести к
, тогда переменные
будут базисными, а
-- свободными. Ненулевое решение предъявить просто:
Пространство решений есть ядро
, а поскольку его размерность два, нам достаточно найти два линейно независимых решений системы. Одно мы уже нашли. Теперь положим
и тогда
-- решение. Но это два линейно независимых решения, а потому они образуют базис пространства решений.
Задание 5.
1. В нашем случае . Легко видеть, что берутся числа вида
, то есть
и потому
, значит,
состоит из тех и только тех чисел, у которых две последние координаты нулевые. Следовательно,
является подпространством, потому что это множество замкнуто относительно суммы (
) и умножения на скаляр.
2. . Несмотря на то что это множество замкнуто относительно суммы, оно не замкнуто относительно умножения на скаляр. В самом деле, например,
лежит в множестве, однако
-- не лежит. Следовательно, это множество не является подпространством.
3. . Здесь те же причины:
лежит в множестве, а
-- нет.
1.