Перенесём правую часть уравнения в левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
2x23+4x+1−1+1=4x3+12x23+4x+1−1+1=4x3+1
в
−4x3−1+2x23+4x+1−1+1=0−4x3−1+2x23+4x+1−1+1=0
Это уравнение вида a*x^2 + b*x + c = 0 Квадратное уравнение можно решить с дискриминанта. Корни квадратного уравнения:
x1=D−−√−b2ax1=D−b2a
x2=−D−−√−b2ax2=−D−b2a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к.
a=23a=23
b=83b=83
c=0c=0
, то D = b^2 - 4 * a * c = (8/3)^2 - 4 * (2/3) * (0) = 64/9 Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня. x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) или
Уравнение x²+(sinα+3cosα)x+b=0 имеет действительное решение тогда, когда D=(sinα+3cosα)²-4b≥0, т.е. b≤(sinα+3cosα)²/4 (***). Т.к. √(1²+3²)=√10, то по методу дополнительного аргумента sinα+3cosα=√10sin(α+β)∈[-√10;√10], при некотором β, т.е. max((sinα+3cosα)²/4)=10/4=5/2, и этот максимум достигается при α₀=π/2-β. Таким образом, для любого b≤5/2 полагаем α=α₀ и получаем выполнение неравенства (***), т.е. наличие действительного решения у исходного уравнения. Если же b>5/2, то неравенство (***) не выполняется ни при каком α, и значит не существует таких α, при которых исходное уравнение имело бы действительные решения. Итак, ответ: b∈(-∞;5/2].
левую часть уравнения со знаком минус.
Уравнение превратится из
2x23+4x+1−1+1=4x3+12x23+4x+1−1+1=4x3+1
в
−4x3−1+2x23+4x+1−1+1=0−4x3−1+2x23+4x+1−1+1=0
Это уравнение вида
a*x^2 + b*x + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
x1=D−−√−b2ax1=D−b2a
x2=−D−−√−b2ax2=−D−b2a
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
a=23a=23
b=83b=83
c=0c=0
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(8/3)^2 - 4 * (2/3) * (0) = 64/9
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
x1=0x1=0
x2=−4