1) x ∈ (4; 5]; 2) x ∈ [4; 5); 3) x ∈ [-8; -3) ∪ (-3; 1] ∪ [3; 4]
Объяснение:
1) {x² - x -20 ≤ 0
{2x - 8 > 0
{x ≤ 7
1. x² - x - 20 ≤ 0
x² + 4x - 5x - 20 ≤ 0
(x + 4)(x - 5) ≤ 0
x + 4 ≥ 0 x - 5 ≤ 0
x ≥ -4 x ≤ 5
x ∈ [-4; 5]
2. 2x - 8 > 0
2x > 8
x > 4
3. x ≤ 7
{x ∈ [-4; 5]
{x > 4
{x ≤ 7
↓
x ∈ (4; 5]
2) {3x - x² + 10 > 0
{-x² - 49 < 0
{x² - 16 ≥ 0
1. 3x - x² + 10 > 0
-x² + 3x + 10 > 0
-x² + 5x - 2x + 10 > 0
-(x - 5)(x + 2) > 0
(x - 5)(x + 2) < 0
x - 5 < 0 x + 2 > 0
x < 0 x > -2
x ∈ (-2; 5)
2. -x² - 49 < 0
-x² < 49
x² > -49
x ∈ R (нет ответа поскольку x² всегда больше -1)
3. x² - 16 ≥ 0
x² ≥ 16
|x| ≥ 4
x ≥ 4 -x ≥ 4
x ≤ -4
x ∈ (-∞; -4] ∪ [4; +∞)
{x ∈ (-2; 5)
{x ∈ R
{x ∈ (-∞; -4] ∪ [4; +∞)
↓
x ∈ [4; 5)
3) {x² + 6x + 9 > 0
{(x - 4)(x + 8) ≤ 0
{x² - 4x + 3 ≥ 0
1. x² + 6x + 9 > 0
(x + 3)² > 0
Поскольку левая часть всегда положительна или 0, утверждение верно для любого значения х, кроме случая, когда (х + 3)² = 0
(х + 3)² ≠ 0
х + 3 ≠0
х ≠ -3;
2. (x - 4)(x + 8) ≤ 0
x - 4 ≤ 0 x + 8 ≥ 0
x ≤ 4 x ≥ -8
x ∈ [-8; 4]
3. x² - 4x + 3 ≥ 0
x² - x - 3x + 3 ≥ 0
(x - 1)(x - 3) ≥ 0
x - 1 ≤ 0 x - 3 ≥ 0
x ≤ 1 x ≥ 3
x ∈ (-∞; 1] ∪ [3; +∞)
{x ≠ 0
{x ∈ [-8; 4]
{x ∈ (-∞; 1] ∪ [3; +∞)
↓
x ∈ [-8; -3) ∪ (-3; 1] ∪ [3; 4]
4x = (p/2) + pk, k принадлежит Z
x = (p/8) + (pk/4), k принадлежит Z
б) sin (x/2 - p/6) +1 = 0
sin (x/2 - p/6) = - 1
x/2 - p/6 = (3p/2) + 2pk, k принадлежит Z
x/2 = (5p/3) + 2pk, k принадлежит Z
x = (10p/3) + 4pk, k принадлежит Z
в) sin (p + t) + cos ((p/2) + t) = корень из 2
- sin t - sin t = корень из 2
- 2sin t = корень из 2
sin t = - (корень из 2)/2
t1 = - (p/4) + 2pk, k принадлежит Z
t2 = (5p/4) + 2pn, n принадлежит Z
г) 2cos^2 x - cos x - 3 = 0
Пусть: cos x = t, t принадлежит [-1;1];
Уравнение: 2t^2 - t - 3 = 0;
D = 1 - 4 • 2 • (-3) = 5^2
t1 = (1 + 5)/(2 • 2) = 6/4 =3/2, 3/2 не принадлежит [-1;1].
t2 = (1 - 5)/(2 • 2) = (-4)/4 = - 1
cos x = - 1
x = p + 2pk, k принадлежит Z
д) (1 + cos x)((корень из 2)sin x - 1) = 0
1 + cos x = 0 или (корень из 2)sin x - 1 = 0
cos x = - 1 или sin x = 1/(корень из 2)
х1 = p + 2pk, k принадлежит Z или х2 = (p/4) + 2pn, n принадлежит Z; x3 = (3p/4) + 2ph, h принадлежит Z
ответ: а) (p/8) + (pk/4), k принадлежит Z;
б) (10p/3) + 4pk, k принадлежит Z;
в) - (p/4) + 2pk, k принадлежит Z; (5p/4) + 2pn, n принадлежит Z;
г) p + 2pk, k принадлежит Z;
д) p + 2pk, k принадлежит Z; (p/4) + 2pn, n принадлежит Z; (3p/4) + 2ph, h принадлежит Z.